8.6 Show that a complex sinusoid of the form x(n)=e^{j(2 \pi \ell / m) n} has the fundamental period N given by N=\frac{m}{\operatorname{gcd}(\ell m)}, where \operatorname{gcd}(\ell, m) denotes the greatest common divisor (GCD) of \ell and m.

Passo 1

O enunciado dá a sequência complexa
x(n)=e^{j\left(\tfrac{2\pi \ell}{m}\right)n},
onde \ell e m são inteiros (presumivelmente m>0). A pergunta é: mostrar que a fundamental período N dessa sequência é
N=\frac{m}{\operatorname{gcd}(\ell,m)}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A forma explícita de x(n) com frequência angular \tfrac{2\pi\ell}{m}.
  • O enunciado pede a expressão do período fundamental N em termos de \ell e m.

Passo 2

Definição utilizada (explicada didaticamente): dizer que uma sequência discreta x(n) é periódica com período inteiro positivo N significa que
x(n+N)=x(n)\quad\text{para todo inteiro }n.
Aqui cada símbolo significa:
  • x(n): valor da sequência no instante inteiro n.
  • N: número inteiro positivo que repete a sequência.
    No nosso caso, substituímos x(n) pela forma exponencial dada e impondo a condição de período obteremos a equação que caracteriza N.

Passo 3

Aplicando a condição de periodicidade à sequência dada:
x(n+N)=e^{j\left(\tfrac{2\pi \ell}{m}\right)(n+N)}=e^{j\left(\tfrac{2\pi \ell}{m}\right)n}\,e^{j\left(\tfrac{2\pi \ell}{m}\right)N}.
Para ter x(n+N)=x(n) para todo n é necessário e suficiente que
e^{j\left(\tfrac{2\pi \ell}{m}\right)N}=1.
Explicando: a primeira fatoração separa a parte que depende de n (que queremos que apareça igual nos dois lados) da parte que depende apenas de N; para que a igualdade valha para todo n a última fatoração deve ser exatamente 1.

Passo 4

Quando um número complexo exponencial é 1 temos que o argumento deve ser múltiplo inteiro de 2\pi. Assim
e^{j\left(\tfrac{2\pi \ell}{m}\right)N}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad \left(\tfrac{2\pi \ell}{m}\right)N = 2\pi k
para algum k\in\mathbb{Z}. Cancelando 2\pi obtemos a condição direta em inteiros:
\frac{\ell N}{m}=k \quad\Longleftrightarrow\quad \ell N = k m.
Interpretação: N deve ser um inteiro tal que \ell N seja múltiplo de m.

Passo 5

Agora vamos achar o menor inteiro positivo N que satisfaz \ell N múltiplo de m. Para isso usamos a decomposição clássica com o máximo divisor comum. Defina
d=\operatorname{gcd}(\ell,m).
Então existem inteiros \ell' e m' tais que
\ell = d\ell',\qquad m = d m',
e por construção \operatorname{gcd}(\ell',m')=1 (ou seja, \ell' e m' são coprimos). Isso significa que a parte comum entre \ell e m foi retirada para formar d, restando duas partes sem fatores comuns.

Passo 6

Substituindo \ell=d\ell' e m=d m' na condição \ell N = k m obtemos
d\ell' N = k d m' \quad\Longrightarrow\quad \ell' N = k m'.
Portanto precisamos de N tal que \ell' N seja múltiplo de m'. Lembre-se: agora \ell' e m' são coprimos.

Passo 7

Provar que o menor N>0 que satisfaz \ell' N múltiplo de m' é N=m'. Raciocínio claro e simples:
  • Porque \operatorname{gcd}(\ell',m')=1, o inteiro \ell' tem inverso multiplicativo modulo m'. Em termos elementares, se \ell' N\equiv 0\pmod{m'} então multiplicando ambos os lados pela inversa de \ell' (existente módulo m') obtemos N\equiv 0\pmod{m'}. Ou seja, m' divide N.
  • Isso implica que qualquer N que satisfaça a condição é múltiplo de m'. O menor múltiplo positivo de m' é m' em si.
    Logo o menor N>0 com \ell' N múltiplo de m' é N=m'.
Se preferir ver sem falar de inverso: suponha 0<N<m' e \ell' N fosse múltiplo de m'. Então m' dividiria \ell' N, mas como m' e \ell' são coprimos isso força m' a dividir N, contradizendo N<m'. Portanto nenhum N menor que m' funciona.

Passo 8

Voltando às variáveis originais: como m'=m/d, concluímos que o menor período positivo (o período fundamental) é
N=m'=\frac{m}{d}=\frac{m}{\operatorname{gcd}(\ell,m)}.
Verificação rápida: com esse N temos \ell N = \ell \tfrac{m}{d} = d\ell' \tfrac{d m'}{d} = \ell' m'\,d = k m com k=\ell', ou visto de forma mais direta \ell N é múltiplo de m, então x(n+N)=x(n). E por Passo 7 não existe N' positivo menor que esse que satisfaça a condição.

Passo 9

Exemplos para fixar a ideia:
  • Exemplo 1: \ell=2,\\ m=8. Aqui \operatorname{gcd}(2,8)=2. Logo N=\dfrac{8}{2}=4. De fato x(n)=e^{j(2\pi\cdot2/8)n}=e^{j(\pi/2)n} repete a cada 4 amostras.
  • Exemplo 2: \ell=3,\\ m=7. Aqui \operatorname{gcd}(3,7)=1. Logo N=\dfrac{7}{1}=7. A sequência repete só após 7 amostras (período máximo m quando \ell e m são coprimos).

Passo 10

Resumo da prova (em uma frase amigável): a periodicidade exige \ell N múltiplo de m; ao retirar o fator comum d=\operatorname{gcd}(\ell,m) restam dois inteiros coprimos, e o menor N que torna \ell' N múltiplo de m' é N=m'; portanto N=m/d.

Resposta

N=\frac{m}{\operatorname{gcd}(\ell,m)}

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