8.6 Show that a complex sinusoid of the form
has the fundamental period
given by
, where
denotes the greatest common divisor (GCD) of
and
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência complexa
onde
e
são inteiros (presumivelmente
). A pergunta é: mostrar que a fundamental período
dessa sequência é
Informações relevantes fornecidas:
- A forma explícita de
com frequência angular . - O enunciado pede a expressão do período fundamental
em termos de e .
Passo 2
Definição utilizada (explicada didaticamente): dizer que uma sequência discreta
é periódica com período inteiro positivo
significa que
Aqui cada símbolo significa:
-
: valor da sequência no instante inteiro . -
: número inteiro positivo que repete a sequência.
No nosso caso, substituímospela forma exponencial dada e impondo a condição de período obteremos a equação que caracteriza .
Passo 3
Aplicando a condição de periodicidade à sequência dada:
Para ter
para todo
é necessário e suficiente que
Explicando: a primeira fatoração separa a parte que depende de
(que queremos que apareça igual nos dois lados) da parte que depende apenas de
; para que a igualdade valha para todo
a última fatoração deve ser exatamente
.
Passo 4
Quando um número complexo exponencial é
temos que o argumento deve ser múltiplo inteiro de
. Assim
para algum
. Cancelando
obtemos a condição direta em inteiros:
Interpretação:
deve ser um inteiro tal que
seja múltiplo de
.
Passo 5
Agora vamos achar o menor inteiro positivo
que satisfaz
múltiplo de
. Para isso usamos a decomposição clássica com o máximo divisor comum. Defina
Então existem inteiros
e
tais que
e por construção
(ou seja,
e
são coprimos). Isso significa que a parte comum entre
e
foi retirada para formar
, restando duas partes sem fatores comuns.
Passo 6
Substituindo
e
na condição
obtemos
Portanto precisamos de
tal que
seja múltiplo de
. Lembre-se: agora
e
são coprimos.
Passo 7
Provar que o menor
que satisfaz
múltiplo de
é
. Raciocínio claro e simples:
- Porque
, o inteiro tem inverso multiplicativo modulo . Em termos elementares, se então multiplicando ambos os lados pela inversa de (existente módulo ) obtemos . Ou seja, divide . - Isso implica que qualquer
que satisfaça a condição é múltiplo de . O menor múltiplo positivo de é em si.
Logo o menorcom múltiplo de é .
Se preferir ver sem falar de inverso: suponha
e
fosse múltiplo de
. Então
dividiria
, mas como
e
são coprimos isso força
a dividir
, contradizendo
. Portanto nenhum
menor que
funciona.
Passo 8
Voltando às variáveis originais: como
, concluímos que o menor período positivo (o período fundamental) é
Verificação rápida: com esse
temos
com
, ou visto de forma mais direta
é múltiplo de
, então
. E por Passo 7 não existe
positivo menor que esse que satisfaça a condição.
Passo 9
Exemplos para fixar a ideia:
- Exemplo 1:
. Aqui . Logo . De fato repete a cada 4 amostras. - Exemplo 2:
. Aqui . Logo . A sequência repete só após 7 amostras (período máximo quando e são coprimos).
Passo 10
Resumo da prova (em uma frase amigável): a periodicidade exige
múltiplo de
; ao retirar o fator comum
restam dois inteiros coprimos, e o menor
que torna
múltiplo de
é
; portanto
.