Num levantamento entre 100 estudantes sobre o estudo de idiomas, foram obtidos os seguintes resultados: 41 estudam inglês, 29 estudam francês e 26 estudam espanhol; 15 estudam inglês e francês, 8 estudam francês e espanhol, 19 estudam inglês e espanhol; 5 estudam os três idiomas. Determine:
a) O número de estudantes que não estudam nenhum dos três idiomas.
b) O número de estudantes que estudam apenas um desses três idiomas.

Passo 1

Resumindo: temos três conjuntos de estudantes — I (inglês), F (francês) e E (espanhol) — com \;|I|=41, |F|=29, |E|=26, \;|I\cap F|=15, |F\cap E|=8, |I\cap E|=19 e |I\cap F\cap E|=5.
Queremos (a) quantos não estudam nenhum idioma e (b) quantos estudam exatamente um idioma. Para isso vamos usar o princípio da inclusão-exclusão.

Passo 2

Pelo princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos,
|I\cup F\cup E| =|I|+|F|+|E|\,-\,|I\cap F|\,-\,|F\cap E|\,-\,|I\cap E|\,+\,|I\cap F\cap E|.
Substituindo os valores:
|I\cup F\cup E| =41+29+26 \;-\;(15+8+19)\;+\;5 =96-42+5=59.

Passo 3

O total de estudantes é 100. Logo, os que não estudam nenhum dos três idiomas são
100 - |I\cup F\cup E| = 100 - 59 = 41.

Passo 4

Para contar quem estuda exatamente um idioma, note que, por exemplo, os que estudam apenas inglês são
|I_{\text{apenas}}| =|I| - |I\cap F| - |I\cap E| + |I\cap F\cap E|.
De forma análoga definimos |F_{\text{apenas}}| e |E_{\text{apenas}}|.

Passo 5

Calculando cada um:
|I_{\text{apenas}}| = 41 - 15 - 19 + 5 = 12,
|F_{\text{apenas}}| = 29 - 15 - 8 + 5 = 11,
|E_{\text{apenas}}| = 26 - 8 - 19 + 5 = 4.
Somando, o total que estuda exatamente um idioma é
12 + 11 + 4 = 27.

Resposta

a) 41
b) 27

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