Num levantamento entre 100 estudantes sobre o estudo de idiomas, foram obtidos os seguintes resultados: 41 estudam inglês, 29 estudam francês e 26 estudam espanhol; 15 estudam inglês e francês, 8 estudam francês e espanhol, 19 estudam inglês e espanhol; 5 estudam os três idiomas. Determine:
a) O número de estudantes que não estudam nenhum dos três idiomas.
b) O número de estudantes que estudam apenas um desses três idiomas.
a) O número de estudantes que não estudam nenhum dos três idiomas.
b) O número de estudantes que estudam apenas um desses três idiomas.
Passo 1
Resumindo: temos três conjuntos de estudantes —
(inglês),
(francês) e
(espanhol) — com
,
,
,
,
,
e
.
Queremos (a) quantos não estudam nenhum idioma e (b) quantos estudam exatamente um idioma. Para isso vamos usar o princípio da inclusão-exclusão.
Queremos (a) quantos não estudam nenhum idioma e (b) quantos estudam exatamente um idioma. Para isso vamos usar o princípio da inclusão-exclusão.
Passo 2
Pelo princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos,
Substituindo os valores:
Passo 3
O total de estudantes é
. Logo, os que não estudam nenhum dos três idiomas são
Passo 4
Para contar quem estuda exatamente um idioma, note que, por exemplo, os que estudam apenas inglês são
De forma análoga definimos
e
.
Passo 5
Calculando cada um:
Somando, o total que estuda exatamente um idioma é
Resposta
a)
b)
b)