Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada dydt no ponto P = (0, 5pi2) na curva definida pela equação y cos(y + t + t^2) = t^3. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a derivação implícita, que é útil quando y está definida de forma implícita em termos de t.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivação implícita. Quando temos uma equação envolvendo y e t, e y não está isolada, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a t, tratando y como uma função de t. Ou seja, aplicamos a derivada a cada termo, lembrando que ddty é dydt.
Passo 3
Vamos diferenciar ambos os lados da equação:
y cos(y + t + t^2) = t^3
Vamos aplicar a derivada em relação a t em cada termo:
Para o lado esquerdo:
Usamos a regra do produto: ddt[u cdot v] = u' cdot v + u cdot v', onde u = y e v = cos(y + t + t^2).
Então:
ddt[y cos(y + t + t^2)] = dydt cdot cos(y + t + t^2) + y cdot ddt[cos(y + t + t^2)]
Agora, derivamos cos(y + t + t^2):
Usamos a regra da cadeia: ddt[cos(u)] = -sin(u) cdot dudt, onde u = y + t + t^2.
Então:
ddt[cos(y + t + t^2)] = -sin(y + t + t^2) cdot (dydt + 1 + 2t)
Portanto, o lado esquerdo fica:
dydt cdot cos(y + t + t^2) - y cdot sin(y + t + t^2) cdot (dydt + 1 + 2t)
Para o lado direito:
ddt[t^3] = 3t^2
Passo 4
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
dydt cdot cos(y + t + t^2) - y cdot sin(y + t + t^2) cdot (dydt + 1 + 2t) = 3t^2
Queremos isolar dydt. Vamos distribuir e coletar os termos que contêm dydt:
dydt cdot cos(y + t + t^2) - y cdot sin(y + t + t^2) cdot dydt - y cdot sin(y + t + t^2) cdot (1 + 2t) = 3t^2
Fatorando dydt:
dydt [cos(y + t + t^2) - y cdot sin(y + t + t^2)] = 3t^2 + y cdot sin(y + t + t^2) cdot (1 + 2t)
Então, isolamos dydt:
dydt = 3t^2 + y cdot sin(y + t + t^2) cdot (1 + 2t)cos(y + t + t^2) - y cdot sin(y + t + t^2)
Passo 5
Agora, precisamos calcular dydt no ponto P = (0, 5pi2). Vamos substituir t = 0 e y = 5pi2 na expressão que encontramos.
Primeiro, calculamos cada parte:
y + t + t^2 = 5pi2 + 0 + 0 = 5pi2
Então:
sin(5pi2) = sin(pi2) = 1 (pois $sin$ tem período $2pi$) í