L’Hopital. Calcule os limites.
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Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas: a expressão é da forma
quando
. Especificamente, o fator dentro do parêntese tende a
e o expoente tende a
, ou seja temos a indeterminação do tipo
. A tarefa é calcular esse limite.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática e por que): quando aparece uma expressão na forma
é quase sempre eficiente tomar o logaritmo natural para transformar o problema num limite de forma produtória/somação que podemos avaliar e depois aplicar exponencial. Vou usar essa transformação e, para avaliar o limite resultante que vira uma indeterminação do tipo
, vou aplicar a Regra de L’Hôpital — que é exatamente a técnica pedida. Regra de L’Hôpital diz: se temos uma razão cujo numerador e denominador tendem a
ou ambos a
, o limite da razão (quando existir) é o mesmo que o limite das razões das derivadas (quando este existir).
Passo 3
Defino a função cujo limite queremos:
Tomando logaritmo natural (isso é legal porque a função exponencial é contínua e estritamente crescente):
Observação importante: se
existir (finito), então
. Nosso objetivo passa a ser calcular
Passo 4
Manipulo
para ficar numa forma em que L’Hôpital seja aplicável. Escrevo
A segunda parcela
tende a
quando
(porque o argumento tende a
). Logo o limite total é
Agora escrevo essa parcela como uma razão apropriada:
Quando
o numerador tende a
e o denominador tende a
— temos
. Podemos aplicar L’Hôpital: derivar numerador e denominador em relação a
.
Calculemos as derivadas com cuidado:
- Derivada do denominador:
. - Derivada do numerador:
.
Primeiro, note que. A derivada é (Explicando: .)
Aplicando L’Hôpital, o limite vira o limite da razão das derivadas:
Simplificando a expressão (os
cancelam):
Agora tomo o limite quando
: o denominador
tende a
, portanto
Logo concluímos que
Passo 5
Voltando da transformação logarítmica: se
, então