Exercício 1. Encontre a série de Fourier das funções definidas através das expressões abaixo:
f(t)=\left\{\begin{array}{ll}3, & t \in(0,1) \\\\ -1, & t \in(1,2)\end{array}, f(0)=f(1)=1\right. e satisfazendo f(t+2)=f(t) para todo t \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define uma função periódica de período 2\) dada por \[f(t)=\begin{cases} 3, & t\in(0,1),\\[4pt] -1, & t\in(1,2), \end{cases}
com f(0)=f(1)=1\] e que satisfaz \(f(t+2)=f(t) para todo t\in\mathbb{R}. A tarefa é encontrar a série de Fourier dessa função (ou seja, escrever f como soma da média mais senos e cossenos de frequências inteiras múltiplas da fundamental). As informações relevantes que o enunciado dá e que vamos usar são:
  • o período é 2;
  • os valores em cada intervalo: f=3 em (0,1) e f=-1 em (1,2);
  • os valores em t=0 e t=1 são 1 (esses pontos isolados não alteram os coeficientes integrais, mas são úteis para checar convergência no final).]

Passo 2

Vamos fixar a forma padrão da série de Fourier para uma função de período 2. Tomamos L=1 (porque 2L=2), e a representação é
f(t)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(n\pi t)+b_n\sin(n\pi t)\right).
Aqui:
  • \displaystyle a_0=\int_{-1}^{1} f(t)\,dt (ou equivalente \displaystyle a_0=\int_{0}^{2} f(t)\,dt quando L=1);
  • para n\ge1,
a_n=\int_{-1}^{1} f(t)\cos(n\pi t)\,dt,\qquad b_n=\int_{-1}^{1} f(t)\sin(n\pi t)\,dt,
ou, usando integração no intervalo [0,2] (mesma coisa porque a função é periódica com período 2):
a_n=\int_{0}^{2} f(t)\cos(n\pi t)\,dt,\qquad b_n=\int_{0}^{2} f(t)\sin(n\pi t)\,dt.
Explico brevemente o que cada termo representa:
  • \dfrac{a_0}{2} é a média (valor médio) da função ao longo de um período;
  • a_n mede a “projeção” da função na base \cos(n\pi t);
  • b_n mede a “projeção” da função na base \sin(n\pi t).
    Nas integrais abaixo vou usar a definição peça a peça de f em (0,1) e (1,2).

Passo 3

Calcular o termo de média \dfrac{a_0}{2}. Usamos
a_0=\int_{0}^{2} f(t)\,dt=\int_{0}^{1}3\,dt+\int_{1}^{2}(-1)\,dt.
Fazendo as integrais:
\int_{0}^{1}3\,dt=3\cdot1=3,\qquad \int_{1}^{2}(-1)\,dt=-1\cdot1=-1,
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a_0=3+(-1)=2.
Portanto a média é
\frac{a_0}{2}=\frac{2}{2}=1.
Interpretação rápida: a série terá termo constante 1.

Passo 4

Calcular a_n para n\ge1. Usamos
a_n=\int_{0}^{2} f(t)\cos(n\pi t)\,dt=\int_{0}^{1}3\cos(n\pi t)\,dt+\int_{1}^{2}(-1)\cos(n\pi t)\,dt.
Calcule cada integral: para a primeira,
\int_{0}^{1}3\cos(n\pi t)\,dt=3\left[\frac{\sin(n\pi t)}{n\pi}\right]_{0}^{1}=\frac{3}{n\pi}\big(\sin(n\pi)-\sin 0\big)=\frac{3}{n\pi}\cdot 0=0,
pois \sin(n\pi)=0. Para a segunda,
\int_{1}^{2}(-1)\cos(n\pi t)\,dt=-\left[\frac{\sin(n\pi t)}{n\pi}\right]_{1}^{2}=-\frac{1}{n\pi}\big(\sin(2n\pi)-\sin(n\pi)\big)=-\frac{1}{n\pi}(0-0)=0.
Portanto
a_n=0\qquad\text{para todo }n\ge1.
Ou seja, não há termos em cosseno na série — só haverá termo constante e senos.

Passo 5

Calcular b_n para n\ge1. Usamos
b_n=\int_{0}^{2} f(t)\sin(n\pi t)\,dt=\int_{0}^{1}3\sin(n\pi t)\,dt+\int_{1}^{2}(-1)\sin(n\pi t)\,dt.
Calcule a primeira integral:
\int_{0}^{1}3\sin(n\pi t)\,dt=3\left[-\frac{\cos(n\pi t)}{n\pi}\right]_{0}^{1}=-\frac{3}{n\pi}\big(\cos(n\pi)-\cos 0\big)=-\frac{3}{n\pi}\big((-1)^n-1\big).
Calcule a segunda integral:
\int_{1}^{2}(-1)\sin(n\pi t)\,dt=-\left[-\frac{\cos(n\pi t)}{n\pi}\right]_{1}^{2}=\frac{1}{n\pi}\big(\cos(2n\pi)-\cos(n\pi)\big)=\frac{1}{n\pi}\big(1-(-1)^n\big).
Somando as duas partes:
b_n=-\frac{3}{n\pi}\big((-1)^n-1\big)+\frac{1}{n\pi}\big(1-(-1)^n\big).
Agrupando termos semelhantes:
b_n=\frac{4}{n\pi}\big(1-(-1)^n\big).
Observe que:
  • se n é par, então (-1)^n=1 e b_n=0;
  • se n é ímpar, então (-1)^n=-1 e b_n=\dfrac{4}{n\pi}(1-(-1))=\dfrac{8}{n\pi}.
Portanto apenas os n ímpares geram termos não nulos em seno, com coeficiente \dfrac{8}{n\pi}.

Passo 6

Escrevemos a série juntando tudo. Como a_0/2=1, a_n=0 e b_n=0 para n par, b_n=\dfrac{8}{n\pi} para n ímpar, a série fica
f(t)=1+\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{8}{n\pi}\sin(n\pi t).í
Uma forma mais prática é indexar por k=0,1,2,\dots com n=2k+1:
f(t)=1+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8}{(2k+1)\pi}\sin\big((2k+1)\pi t\big).
Pequena verificação de consistência: nos pontos de descontinuidade (por exemplo t=0 ou t=1) a série converge para a média dos limites lateral esquerdo e direito, ou seja para \dfrac{3+(-1)}{2}=1, que coincide com os valores dados f(0)=f(1)=1. Bom trabalho — a série ficou bem simples: média 1 mais apenas termos senoidais ímpares.

Resposta

f(t)=1+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8}{(2k+1)\pi}\sin\big((2k+1)\pi t\big).

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