Exercício 1. Encontre a série de Fourier das funções definidas através das expressões abaixo: f(t)=\left\{\begin{array}{ll}3, & t \in(0,1) \\\\ -1, & t \in(1,2)\end{array}, f(0)=f(1)=1\right. e satisfazendo f(t+2)=f(t) para todo t \in \mathbb{R}.
Passo 1
O enunciado define uma função periódica de período 2\) dada por
\[f(t)=\begin{cases} 3, & t\in(0,1),\\[4pt] -1, & t\in(1,2), \end{cases}
com f(0)=f(1)=1\] e que satisfaz \(f(t+2)=f(t) para todo t\in\mathbb{R}. A tarefa é encontrar a série de Fourier dessa função (ou seja, escrever f como soma da média mais senos e cossenos de frequências inteiras múltiplas da fundamental). As informações relevantes que o enunciado dá e que vamos usar são:
o período é 2;
os valores em cada intervalo: f=3 em (0,1) e f=-1 em (1,2);
os valores em t=0 e t=1 são 1 (esses pontos isolados não alteram os coeficientes integrais, mas são úteis para checar convergência no final).]
Passo 2
Vamos fixar a forma padrão da série de Fourier para uma função de período 2. Tomamos L=1 (porque 2L=2), e a representação é
Pequena verificação de consistência: nos pontos de descontinuidade (por exemplo t=0 ou t=1) a série converge para a média dos limites lateral esquerdo e direito, ou seja para \dfrac{3+(-1)}{2}=1, que coincide com os valores dados f(0)=f(1)=1. Bom trabalho — a série ficou bem simples: média 1 mais apenas termos senoidais ímpares.