L’Hopital. Calcule os limites.
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Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o limite
Informações dadas importantes:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Ao avaliar em
: o numerador vale e o denominador vale . Logo, a forma da expressão quando é .
Passo 2
Por que isso importa e qual técnica vou usar? Quando um limite tem a forma
, uma ferramenta clássica é a regra de L’Hôpital. Vou explicar essa regra de forma curtinha e clara:
- Regra de L’Hôpital (caso
): se e são diferenciáveis numa vizinhança de (exceto possivelmente em ), e o limite
existe (ou é
), então
Vou aplicar essa regra aqui porque já verifiquei a forma indeterminada
.
Antes de derivar, lembro duas regras que vou usar (com explicação simples):
- Derivada do logaritmo: se
então, pela regra da cadeia,
Isto vem da derivada de
combinada com a derivada interna
.
- Derivada de funções compostas básicas:
Esses são casos da regra da cadeia aplicada a
e
.
Passo 3
Calculo as derivadas do numerador e do denominador (passo a passo).
- Numerador
. Tome . Então e, por ,
- Denominador
. Derivando termo a termo,
portanto
Passo 4
Aplicando L’Hôpital: o limite original é igual a
Agora avalio esse limite. Note que as funções no numerador e denominador dessa fração são contínuas em
, então posso substituir
diretamente:
- No numerador: substituindo
dá . - No denominador: substituindo
dá .
Portanto o limite vale
.
Passo 5
Verificação rápida: aplicamos L’Hôpital uma vez e obtivemos uma expressão cujo limite por substituição direta existe e é finito; assim a igualdade pela regra de L’Hôpital é válida. Conclusão: o limite pedido é
.