L’Hopital. Calcule os limites.
$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+2 x+x^{3}\right)}{\cos (2 x)-e^{3 x}}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite
\lim_{x\to 0} \frac{\ln\bigl(1+2x+x^{3}\bigr)}{\cos(2x)-e^{3x}}.
Informações dadas importantes:
  • O numerador é \ln\bigl(1+2x+x^{3}\bigr).
  • O denominador é \cos(2x)-e^{3x}.
  • Ao avaliar em x=0: o numerador vale \ln(1)=0 e o denominador vale \cos(0)-e^{0}=1-1=0. Logo, a forma da expressão quando x\to 0 é 0/0.

Passo 2

Por que isso importa e qual técnica vou usar? Quando um limite tem a forma 0/0, uma ferramenta clássica é a regra de L’Hôpital. Vou explicar essa regra de forma curtinha e clara:
  • Regra de L’Hôpital (caso 0/0): se f(x) e g(x) são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), f(a)=g(a)=0 e o limite
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Vou aplicar essa regra aqui porque já verifiquei a forma indeterminada 0/0.
Antes de derivar, lembro duas regras que vou usar (com explicação simples):
  • Derivada do logaritmo: se h(x)=\ln(u(x)) então, pela regra da cadeia,
h'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Isto vem da derivada de \ln combinada com a derivada interna u'(x).
  • Derivada de funções compostas básicas:
\frac{d}{dx}\cos(kx) = -k\sin(kx),\qquad \frac{d}{dx}e^{kx}=k e^{kx}.
Esses são casos da regra da cadeia aplicada a \cos e e^{x}.

Passo 3

Calculo as derivadas do numerador e do denominador (passo a passo).
  • Numerador f(x)=\ln\bigl(1+2x+x^{3}\bigr). Tome u(x)=1+2x+x^{3}. Então u'(x)=2+3x^{2} e, por f'(x)=u'(x)/u(x),
f'(x)=\frac{2+3x^{2}}{1+2x+x^{3}}.
  • Denominador g(x)=\cos(2x)-e^{3x}. Derivando termo a termo,
\frac{d}{dx}\cos(2x) = -2\sin(2x),\qquad \frac{d}{dx}e^{3x}=3e^{3x},
portanto
g'(x) = -2\sin(2x) - 3e^{3x}.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital: o limite original é igual a
\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 0}\frac{\dfrac{2+3x^{2}}{1+2x+x^{3}}}{-2\sin(2x)-3e^{3x}}.
Agora avalio esse limite. Note que as funções no numerador e denominador dessa fração são contínuas em x=0, então posso substituir x=0 diretamente:
  • No numerador: substituindo x=0 \dfrac{2+3\cdot 0^{2}}{1+2\cdot 0+0^{3}}=\dfrac{2}{1}=2.
  • No denominador: substituindo x=0 -2\sin(0)-3e^{0} = -2\cdot 0 - 3\cdot 1 = -3.
Portanto o limite vale 2/(-3) = -\dfrac{2}{3}.

Passo 5

Verificação rápida: aplicamos L’Hôpital uma vez e obtivemos uma expressão cujo limite por substituição direta existe e é finito; assim a igualdade pela regra de L’Hôpital é válida. Conclusão: o limite pedido é -\dfrac{2}{3}.

Resposta

-\dfrac{2}{3}

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