(Licenciatura em Matemática) Analise e classifique o sistema a seguir usando o Teorema de Rouché-Capelli:
rll x+y+z & = & 6 2 x+2 y+2 z & = & 12 x+2 y+3 z & = & 8

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x+y+z=6, 2x+2y+2z=12, x+2y+3z=8,
queremos classificá-lo (compatível ou não; se compatível, determinado ou indeterminado) usando o Teorema de Rouché-Capelli, que diz:
– o sistema é compatível se, e somente se, rank(A)=rank([Amid b]);
– é determinado quando esse posto é igual ao número de incógnitas; indeterminado quando é menor.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes A e a matriz aumentada [Amid b]:
A= 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 1 & 2 & 3 , [Amid b]= 1 & 1 & 1 & 6 2 & 2 & 2 & 12 1 & 2 & 3 & 8

Passo 3

Observamos que a segunda linha de A é o dobro da primeira, pois
(2,2,2)=2,(1,1,1). Já a terceira linha (1,2,3) não é múltiplo de (1,1,1). Logo, há duas linhas independentes.

Passo 4

Portanto
rank(A)=2

Passo 5

Na matriz aumentada, a segunda linha também é duas vezes a primeira (o lado direito satisfaz 12=2cdot6), e a terceira linha continua independente. Assim
rank([Amid b])=2

Passo 6

Como rank(A)=rank([Amid b])=2 e esse valor é menor que o número de incógnitas ( 3), o sistema é compatível indeterminado (têm infinitas soluções).

Passo 7

Para descrever as soluções, tomamos
subtraindo a primeira da segunda obtemos
Então (x=6-t-y=6-t-(2-2t)=4+t]. Logo o conjunto solução é

Resposta

O sistema é compatível indeterminado, com soluções
(x,y,z)=(4+t,,2-2t,,t), tinR

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