Light oil at 75^circ F flows over a 17 - ft -long flat plate with a free-stream velocity of 5 ft / s. Determine the total drag force per unit width of the plate.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O problema diz que óleo leve a 75 °F se escoa sobre uma placa plana de 17 ft de comprimento, com velocidade de 5 ft/s bem acima da placa, e pede a força de arrasto por unidade de largura da placa.
Conteúdo: teoria de camada limite em placa plana, distinguindo trecho laminar e trecho turbulento, cálculo da tensão de cisalhamento na parede e integração para achar o arrasto total.
O que vamos precisar:
• Propriedades do óleo a 75 °F: densidade rho e viscosidade dinâmica mu (da tabela).
• Cálculo de número de Reynolds local e comprimento de transição xrm cr.
• Fórmulas de coeficiente de atrito de parede Cf para escoamento laminar e turbulento.
• Integração de tauw(x)=tfrac12,rho,Uinfty^2,Cf(x) ao longo da placa.

Passo 2

  1. Propriedades do óleo leve a 75 °F (tabela típica):
rho = 50,4;lbm/ft^3 , mu = 1,95times10^-3;lbm/(ftcdot s)
Logo a viscosidade cinemática é
nu = murho = 1,95times10^-350,4 = 3,87times10^-5;ft^2/s
  1. Número de Reynolds baseado no comprimento total L=17,ft:
ReL = Uinfty,Lnu = 5,times173,87times10^-5 approx 2,20times10^6
Como ReLgg5times10^5, a camada limite será laminar até
xrm cr = Rerm cr,nuUinfty = 5times10^5times3,87times10^-55 approx 3,87;ft,
depois disso (de x=3,87,ft até 17,ft) ela estará turbulenta.

Passo 3

Cálculo do arrasto na região laminar ( 0<= x<= xrm cr):
  1. Coeficiente de atrito local para laminar em placa plana
Cf,rm lam(x) = 0,664raizRex = 0,664;raiznuUinfty,x
  1. Tensão de cisalhamento na parede
tauw(x) = tfrac12,rho,Uinfty^2,Cf,rm lam(x)
  1. Arrasto por unidade de largura nesta região:
Drm lam' = integral0^xrm cr tauw(x),dx = tfrac12,rho,Uinfty^2 integral0^xrm cr 0.664raiznuUinfty,x,dx
Fazendo a integral (veja que integral0^xrm cr x^-1/2dx = 2,raizxrm cr), chega-se a
Drm lam' = 0.664,rho,Uinfty^3/2,raiznu,xrm cr
Substituindo números:
Uinfty^3/2 = 5^3/2 = 11,18, raiznu,xrm cr = raiz3,87times10^-5times3,87 approx 0,01223,
Drm lam' = 0.664times50,4times11,18times0,01223 approx 4,58;lbf/ft

Passo 4

Arrasto na região turbulenta ( xrm cr<= x <= L):
  1. Coeficiente de atrito local para turbulento (Blasius)
Cf,rm turb(x) = 0.0592,Rex^-1/5 =0.0592;l(Uinfty,xnur)^-1/5
  1. Arrasto por unidade de largura:
Drm turb' = tfrac12,rho,Uinfty^2 integralxrm cr^L Cf,rm turb(x),dx
Fazendo a integral (usar integral x^-1/5dx = tfrac54x^4/5) chega-se a
Drm turb' = tfrac12,rho,Uinfty^2 ;0.0592, l(tfracnuUinftyr)^1/5 ;54,l(L^4/5-xrm cr^4/5r)
Reorganizando 0.0592timestfrac54=0.074 e calculando:
l(tfracnuUinftyr)^1/5 = l(tfrac3,87times10^-55r)^0.2 approx 0.095, L^4/5-xrm cr^4/5 =17^0.8-3,87^0.8approx10.41-4.40=6.01,
tfrac12,rho,Uinfty^2 = tfrac12times50,4times25=630
Portanto
Drm turb' = 630times0.074times0.095times6.01 approx 26,6;lbf/ft

Resposta

Somando laminar + turbulento, a força de arrasto total por unidade de largura da placa é
D' = Drm lam' + Drm turb' approx 4,58 + 26,6 = 31,2;lbf/ft

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