Light that has a wavelength of 500 nm is incident normally on a film of water 1.00 \mu \mathrm{~m} thick. (a) What is the wavelength of the light in the water? (b) How many wavelengths are contained in the distance 2 t, where t is the thickness of the film? (c) The film has air on both sides. What is the phase difference between the wave reflected from the front surface and the wave reflected from the back surface in the region where the two reflected waves superpose?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e faz estas perguntas:
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento de onda no ar: \lambda_0 = 500\\ \text{nm}.
    • Espessura do filme de água: t = 1{,}00\\ \mu\text{m}.
    • Incidência normal (ângulo de incidência =0^\circ).
    • O filme é de água e tem ar em ambos os lados.
    • Vou usar o índice de refração típico da água: n = 1{,}33. (Este valor é uma propriedade física padrão da água à temperatura ambiente.)
  • Perguntas:
    (a) Qual é o comprimento de onda da luz dentro da água?
    (b) Quantos comprimentos de onda estão contidos na distância 2t?
    (c) Qual é a diferença de fase entre a onda refletida na superfície frontal e a onda refletida na superfície traseira, na região onde elas se superpõem?

Passo 2

Conceito essencial para (a): quando uma onda luminosa entra em um meio com índice de refração n, a sua frequência f não muda, mas a velocidade e, consequentemente, o comprimento de onda mudam. A relação é
v=\frac{c}{n},\qquad \lambda'=\frac{v}{f}.
Como c=f\lambda_0 (no ar/vácuo) e f é o mesmo no meio, obtemos a fórmula simples usada em exercícios:
\lambda'=\frac{\lambda_0}{n},
onde \lambda' é o comprimento de onda no meio (água), \lambda_0 é o comprimento de onda no ar e n é o índice de refração do meio. Aqui:
  • \lambda' é o que pedem em (a),
  • n é o índice de refração da água.

Passo 3

Cálculo de (a) usando a fórmula:
\lambda'=\frac{\lambda_0}{n}=\frac{500\\ \text{nm}}{1{,}33}.
Fazendo a conta (usando 1{,}33=\tfrac{133}{100} dá simplificação exata):
\lambda'=\frac{500}{1{,}33}\\ \text{nm}=\frac{50000}{133}\\ \text{nm}\approx 375{,}94\\ \text{nm}.
Arredondando razoavelmente com os dados dados, pode-se escrever \lambda'\approx 376\\ \text{nm}. Esse é o comprimento de onda da luz dentro da água.

Passo 4

Conceito e cálculo para (b): o número de comprimentos de onda contidos numa certa distância L é N = L/\lambda'. Aqui a distância considerada é 2t (o trajeto de ir e voltar dentro do filme), então
N=\frac{2t}{\lambda'}.
Converter t para as mesmas unidades: t=1{,}00\\ \mu\text{m}=1000\\ \text{nm}. Assim
N=\frac{2\cdot 1000\\ \text{nm}}{375{,}9398496\ldots\\ \text{nm}}.
Usando a forma fracionária (novamente 1{,}33=\tfrac{133}{100}) obtém-se uma conta simples:
N=\frac{2000}{50000/133}=\frac{2000\cdot133}{50000}=5{,}32.
Portanto, a distância 2t contém 5{,}32 comprimentos de onda na água.

Passo 5

Conceito necessário para (c) — mudanças de fase ao refletir:
  • Quando uma onda é refletida numa interface onde ela passa de um meio de índice menor para um meio de índice maior ( n_{\text{incidente}}<n_{\text{transmitido}}, por exemplo ar \to água), a onda refletida sofre uma inversão de fase de \pi (equivalente a meia onda).
  • Quando a reflexão ocorre de um meio de índice maior para um de índice menor ( n_{\text{incidente}}>n_{\text{transmitido}}, por exemplo água \to ar), não há inversão de fase (mudança de fase =0).
    No nosso caso:
  • Reflexão na superfície frontal (ar \to água): há inversão de fase \Rightarrow fase adicional \pi.
  • Reflexão na superfície traseira (água \to ar): não há inversão de fase \Rightarrow fase adicional 0.
Além disso, a reflexão da superfície traseira percorre um caminho extra de ida e volta dentro do filme, que introduz uma diferença de fase geométrica dada por
\phi_{\text{caminho}}=\frac{2\pi}{\lambda'}\cdot(2t)=\frac{4\pi t}{\lambda'}.

Passo 6

Montando a diferença de fase total entre as duas ondas refletidas:
\Delta = \text{(fase por reflexão)} + \text{(fase por caminho)}.ã
Como a reflexão frontal dá \pi e a traseira dá 0, a diferença por reflexão é \pi. Então
\Delta=\pi+\frac{4\pi t}{\lambda'}=\pi\!\left(1+\frac{4t}{\lambda'}\right).
Essa é a expressão geral para a diferença de fase (em radianos).

Passo 7

Cálculo numérico de (c) usando os valores obtidos:
Já calculamos \lambda'=\dfrac{500}{1{,}33}\\ \text{nm}=\dfrac{50000}{133}\\ \text{nm} e t=1000\\ \text{nm}. Então
\frac{4t}{\lambda'}=\frac{4\cdot 1000}{50000/133}=10{,}64.
Portanto
\Delta=\pi\left(1+10{,}64\right)=11{,}64\,\pi\\ \text{rad}.
Em unidades de radianos:
\Delta=11{,}64\pi\\ \text{rad}\approx 36{,}57\\ \text{rad}.
Como diferenças de fase são frequentemente dadas modulo 2\pi, podemos também reduzir para o intervalo [0,2\pi):
\Delta_{\text{mod }2\pi}=11{,}64\pi \bmod 2\pi = 1{,}64\pi\\ \text{rad}\approx 5{,}15\\ \text{rad}.
Ambas as formas são equivalentes (a primeira é o valor total, a segunda é o valor principal entre 0 e 2\pi).

Resposta

(a) \lambda'=\dfrac{500\\ \text{nm}}{1{,}33}=\dfrac{50000}{133}\\ \text{nm}\approx 375{,}94\\ \text{nm}.
(b) \dfrac{2t}{\lambda'}=\dfrac{2000\\ \text{nm}}{375{,}94\\ \text{nm}}=5{,}32.
(c) \Delta=\pi\!\left(1+\dfrac{4t}{\lambda'}\right)=11{,}64\,\pi\\ \text{rad}\approx 36{,}57\\ \text{rad} (equivalente a \Delta_{\text{mod }2\pi}=1{,}64\pi\\ \text{rad}\approx 5{,}15\\ \text{rad}).

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