A wedge-shaped film of air is made by placing a small slip of paper between the edges of two flat plates of glass. Light that has a wavelength of 700 nm is incident normally on the glass plates, and interference fringes are observed by reflection. (a) Is the first fringe near the point of contact of the plates dark or bright? Why? (b) If there are five dark fringes per centimeter, what is the angle of the wedge?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Há uma cunha de ar formada entre duas placas de vidro (uma separação que cresce com a distância a partir do ponto de contato).
  • A luz incidente é normal às placas e tem comprimento de onda \lambda = 700\\ \text{nm}.
  • Observa-se interferência por reflexão.
  • Foi medido que há 5 franjas escuras por centímetro ao longo da cunha.
O enunciado pede:
(a) A primeira franja próxima ao ponto de contato é escura ou brilhante? Justifique.
(b) Determinar o ângulo da cunha \alpha.

Passo 2

Entendendo quais ondas interferem e os deslocamentos de fase nas reflexões (a parte conceitual essencial).
Quando a luz chega normalmente, as duas ondas que se interferem são:
  • a onda1: refletida na face inferior da placa superior (interface vidro → ar),
  • a onda2: que atravessa o pequeno espaço de ar, reflete na face superior da placa inferior (interface ar → vidro) e retorna.
Sobre mudança de fase ao refletir:
  • Reflexão de um meio de índice menor para maior (por exemplo ar \to vidro) introduz uma inversão de fase de \pi (ou seja, um deslocamento de fase igual a metade de um ciclo).
  • Reflexão de um meio de índice maior para menor (por exemplo vidro \to ar) não introduz essa inversão.
Aplicando isto:
  • A reflexão em vidro \to ar (na face inferior da placa superior) não adiciona \pi.
  • A reflexão em ar \to vidro (na face superior da placa inferior) adiciona \pi.
Logo, entre as duas ondas há uma diferença de fase fixa de \pi proveniente das reflexões (além da diferença de caminho). Vou agora quantificar o efeito do caminho extra.

Passo 3

Diferença de caminho óptico e condição de interferência.
A onda que reflete mais internamente (a que atravessa a cunha) percorre um caminho adicional de ida e volta igual a 2t, onde t é a espessura do filme de ar naquele ponto. O índice do ar é n\approx1. A diferença de fase devido ao caminho é
\Delta\Phi_{\text{caminho}}=\frac{2\pi}{\lambda}\,2 n t=\frac{4\pi n t}{\lambda}.
Somando a contribuição \pi da inversão de fase em apenas uma reflexão, a diferença de fase total entre as duas ondas é
\Delta\Phi_{\text{total}}=\frac{4\pi n t}{\lambda}+\pi.
Condições (padrões para duas ondas):
  • Máximo (franja brilhante) em reflexão quando \Delta\Phi_{\text{total}}=2\pi m, m inteiro.
  • Mínimo (franja escura) em reflexão quando \Delta\Phi_{\text{total}}=(2m+1)\pi, m inteiro.
Substituindo e rearranjando obtemos as condições em termos de t. Para franjas escuras (minimos) é mais simples verificar:
\Delta\Phi_{\text{total}}=(2m+1)\pi \Rightarrow \frac{4\pi n t}{\lambda}+\pi=(2m+1)\pi
\Rightarrow \frac{4\pi n t}{\lambda}=2m\pi \Rightarrow 2 n t = m\lambda.
Para franjas brilhantes (máximos):
2 n t = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda.
Comentário de verificação: em t=0 temos 2 n t=0 que satisfaz a condição com m=0 da expressão das franjas escuras; portanto o contato (onde t=0) é uma franja escura. Isto responde (a) — justificativa já apresentada.

Passo 4

Geometria da cunha e relação entre posição e espessura.
Se a cunha tem ângulo \alpha (medido em radianos) e x for a distância medida ao longo das placas a partir do ponto de contato, a espessura da camada de ar é
t(x)=x\tan\alpha.
Como a cunha é muito fina, \alpha é pequeno e podemos usar a aproximação para ângulos pequenos
\tan\alpha\approx\alpha\quad(\text{em rad}).
Assim, para pequenos \alpha,
t(x)\approx x\alpha.

Passo 5

Posição das franjas escuras e espaçamento entre elas.
Das condições do passo 3, as franjas escuras ocorrem quando
2 n t = m\lambda \quad\Rightarrow\quad t_m=\frac{m\lambda}{2n}.
Com n\approx1 (ar),
t_m=\frac{m\lambda}{2}.
Convertendo para posições x_m usando t_m\approx x_m\alpha:
x_m=\frac{t_m}{\alpha}=\frac{m\lambda}{2\alpha}.
O espaçamento entre franjas escuras adjacentes é
\Delta x = x_{m+1}-x_m=\frac{\lambda}{2\alpha}.
A densidade de franjas escuras por unidade de comprimento (número por comprimento) é
\mathcal{N}=\frac{1}{\Delta x}=\frac{2\alpha}{\lambda}.
Isolando \alpha obtemos a relação útil
\alpha=\frac{\mathcal{N}\,\lambda}{2}.

Passo 6

Aplicar os números do enunciado.
Foi dado que há 5 franjas escuras por centímetro. Primeiro converto isso para unidades do SI (franjas por metro):
\mathcal{N}=5\\ \text{franjas/cm}=5\times 100\\ \text{franjas/m}=500\\ \text{m}^{-1}.
O comprimento de onda é \lambda=700\\ \text{nm}=700\times10^{-9}\\ \text{m}.
Usando \alpha=\dfrac{\mathcal{N}\,\lambda}{2}:
\alpha=\frac{500\cdot 700\times10^{-9}}{2}=\frac{500\cdot 7{,}00\times10^{-7}}{2}=1{,}75\times10^{-4}\\ \text{rad}.
Convertendo para graus (opcional) usando 1\\ \text{rad}\approx 57{,}2958^\circ:
\alpha\approx 1{,}75\times10^{-4}\times 57{,}2958\approx 0{,}010^\circ.

Resposta

(a) A primeira franja junto ao ponto de contato é escura.
(b) \alpha=1{,}75\times10^{-4}\\ \text{rad}\approx 0{,}010^\circ

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