Light that has a wavelength equal to 480 nm falls normally on four slits. Each slit is 2.00 \mu \mathrm{~m} wide and the center-to-center separation between it and the next slit is 6.00 \mu \mathrm{~m}. (a) Find the angular width of the central intensity maximum of the single-slit diffraction pattern on a distant screen. (b) Find the angular position of all interference intensity maxima that lie inside the central diffraction maximum. (c) Find the angular width of the central interference maximum. That is, find the angle between the first interference intensity minima on either side of the central interference maximum. (d) Sketch the relative intensity as a function of the sine of the angle.
Passo 1
O enunciado nos dá luz de comprimento de onda \lambda=480\\ \text{nm} que incide normalmente em quatro fendas idênticas. Cada fenda tem largura a=2{,}00\\ \mu\text{m} e a separação centro-a-centro entre fendas é d=6{,}00\\ \mu\text{m}. O número de fendas é N=4.
As perguntas são:
(a) Encontrar a largura angular do máximo central da difração de uma única fenda.
(b) Encontrar as posições angulares de todas as máximas de interferência (entre as fendas) que caem dentro do máximo central de difração.
(c) Encontrar a largura angular do máximo de interferência central (isto é, o ângulo entre os primeiros mínimos de interferência de cada lado do máximo central de interferência).
(d) Fazer (descrever) o esboço da intensidade relativa em função de \sin\theta.
Dados numéricos (vou usá-los em unidades consistentes \mu\text{m}): \lambda=0{,}480\\ \mu\text{m}, \;a=2{,}00\\ \mu\text{m}, \;d=6{,}00\\ \mu\text{m}, \;N=4.
Passo 2
(a) Largura angular do máximo central da difração de uma única fenda.
Teoria curta e intuitiva: para uma fenda retangular de largura a a primeira mínima de difração ocorre quando os raios de uma extremidade da fenda interferem destrutivamente com os da outra extremidade, o que dá a condição
a\sin\theta=\pm\lambda
O máximo central de difração está entre essas duas mínimas laterais; portanto a semi-largura angular (do centro até a primeira mínima) é \theta_{\text{dif}}=\arcsin\!\left(\dfrac{\lambda}{a}\right) e a largura total angular do máximo central é 2\theta_{\text{dif}}.
Observação didática rápida: a fórmula a\sin\theta=\lambda é a condição da primeira mínima (e é bem útil para estimar o “envelope” onde os picos de interferência das múltiplas fendas aparecem).
Passo 3
(b) Posições angulares das máximas de interferência entre as fendas que caem dentro do máximo central de difração.
Teoria: para um arranjo de fendas com separação d as máximas de interferência (os máximos principais) ocorrem quando a diferença de caminho entre fendas adjacentes é um múltiplo inteiro de \lambda:
Comentário importante: como vimos no Passo 2 a primeira mínima de difração ocorre em \sin\theta=\pm0{,}24. Portanto os máximos de interferência m=\pm3 estão exactamente na posição da primeira mínima de difração — isto significa que esses máximos são “suprimidos” pelo envelope de difração (a intensidade ali é zero). Assim, os máximos efetivos visíveis dentro do lóbulo central de difração são para m=0,\pm1,\pm2; os de m=\pm3 coincidem com o zero do envelope e não aparecem.
Passo 4
(c) Largura angular do máximo de interferência central (entre os primeiros mínimos de interferência de cada lado).
Teoria mais detalhada (mas direta): a parte de interferência entre N fendas produz um fator de intensidade proporcional a
\left(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta}\right)^2,
onde \beta=\dfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda}. Os mínimos de interferência (entre máximos principais) ocorrem quando o numerador \sin N\beta=0 mas o denominador \sin\beta\neq0. A condição é
A largura angular total do máximo central de interferência é então 2\theta_{\text{min}}, onde \theta_{\text{min}}=\arcsin\!\left(\dfrac{\lambda}{Nd}\right).
Aplicando os valores: N d = 4\times6{,}00=24{,}0\\ \mu\text{m}. Logo
Breve intuição: mais fendas (maior N) fazem os picos de interferência ficarem mais estreitos; por isso aparece o fator 1/(Nd) na posição do primeiro mínimo de interferência.
Passo 5
(d) Esboço (descrição) da intensidade relativa I(\sin\theta).
Fórmula completa e didática: a intensidade total resultante é o produto do fator de difração da fenda única pela estrutura de interferência das N fendas:
e I_{\max} é a intensidade máxima (no centro). Explicando: \left(\dfrac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2 é o envelope de difração de uma única fenda (sinc²) com zeros em \sin\theta=\pm\lambda/a; \left(\dfrac{\sin N\beta}{\sin\beta}\right)^2 fornece os picos de interferência espaçados por \Delta(\sin\theta)=\lambda/d.
Como desenhar em função de \sin\theta (passo a passo prático):
Eixo horizontal: \sin\theta variando aproximadamente de -0{,}3 a +0{,}3 (suficiente para ver o máximo central de difração). Eixo vertical: intensidade relativa I/I_{\max}.
Primeiro desenhe o envelope de difração \left(\dfrac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2 que tem seu primeiro zero em \sin\theta=\pm0{,}24 e pico central em \sin\theta=0.
Dentro desse envelope marque os picos de interferência em \sin\theta=m(0{,}080) para m=0,\pm1,\pm2,\pm3. Ou seja em \sin\theta=0,\pm0{,}080,\pm0{,}160,\pm0{,}240.
As alturas relativas dos picos principais (comparadas com o pico central m=0) são dadas por \left(\dfrac{\sin\alpha_m}{\alpha_m}\right)^2, onde em um pico de interferência \alpha_m=m\pi(a/d)=m\pi/3. Calculando:
m=\pm3:\alpha=\pi\Rightarrow intensidade relativa =0 (coincide com zero do envelope).
O fator de interferência \left(\dfrac{\sin N\beta}{\sin\beta}\right)^2 faz com que, exatamente nos picos principais, a amplitude ideal (sem envelope) seja N^2=16 vezes a amplitude de uma única fenda; quando normalizamos pelo pico central isso já foi levado em conta nos números acima (pois dividimos pelo valor central).
Portanto o esboço mostrará um grande pico central, dois picos secundários notáveis em \sin\theta=\pm0{,}080 com ~68% da altura do central, picos menores em \pm0{,}160 com ~17% e zeros em \pm0{,}240. Entre esses picos haverá os falsos “mínimos” de interferência onde \sin N\beta=0 (pequenas estruturas finas), mas o contorno geral é o envelope sinc² da difração.
Dica para desenhar: traçar primeiro o envelope suave (sinc²), em seguida colocar marcas verticais nos \sin\theta dos picos e desenhar triângulos (ou picos estreitos) com alturas proporcionais aos valores calculados acima.
Resposta
(a) Largura angular do máximo central de difração (total): 2\theta_{\text{dif}} \approx 0{,}4850\\ \text{rad}\approx27{,}80^\circ.
(b) Máximas de interferência dentro do máximo central de difração: \sin\theta_m = m(0{,}080) para m=0,\pm1,\pm2,\pm3, i.e. \theta_0=0^\circ,\\ \theta_{\pm1}\approx\pm4{,}59^\circ,\\ \theta_{\pm2}\approx\pm9{,}20^\circ,\\ \theta_{\pm3}\approx\pm13{,}90^\circ.
Observação: os picos m=\pm3 coincidem com o zero do envelope de difração e são suprimidos (intensidade zero).
(c) Largura angular do máximo de interferência central: 2\theta_{\text{int}}=2\arcsin\!\left(\dfrac{\lambda}{Nd}\right)\approx0{,}04000\\ \text{rad}\approx2{,}29^\circ.
(d) Esboço (descrição): intensidade I(\sin\theta) = envelope de difração \left(\dfrac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2 com zeros em \sin\theta=\pm0{,}24, contendo picos de interferência em \sin\theta=0,\pm0{,}080,\pm0{,}160,\pm0{,}240; alturas relativas dos picos (comparadas ao central) aproximadamente 1{,}00,\\\ 0{,}684,\\\ 0{,}171,\\\ 0 para m=0,\,\pm1,\,\pm2,\,\pm3 respectivamente.