Light that has a wavelength equal to 550 nm illuminates two slits that both have widths equal to 0.030 mm and separations equal to 0.15 mm . (a) How many interference maxima fall within the full width of the central diffraction maximum? (b) What is the ratio of the intensity of the third interference maximum to one side of the center interference maximum to the intensity of the center interference maximum?

Passo 1

O enunciado dá estas informações (vou colocar os valores numericamente e em unidades SI):
  • Comprimento de onda: \lambda = 550\\ \text{nm} = 5{,}50\times 10^{-7}\\ \text{m}.
  • Largura de cada fenda: a = 0{,}030\\ \text{mm} = 3{,}0\times 10^{-5}\\ \text{m}.
  • Separação entre centros das fendas: d = 0{,}15\\ \text{mm} = 1{,}5\times 10^{-4}\\ \text{m}.
O enunciado pede:
(a) Quantas máximas de interferência caem dentro da largura total (do centro) do máximo de difração por uma fenda?
(b) Qual é a razão entre a intensidade da terceira máxima de interferência (em um lado do centro) e a intensidade da máxima de interferência central?

Passo 2

Entender os critérios geométricos (fórmulas) que vamos usar — sem fazer contas ainda:
  • Os mínimos da difração de uma única fenda ocorrem quando
a\sin\theta = m\lambda,\qquad m=\pm1,\pm2,\ldots
O primeiro mínimo do envelope (ou seja, a borda do máximo central de difração) corresponde a m=\pm1, então o semi-ângulo do máximo central de difração satisfaz
\sin\theta_1 = \frac{\lambda}{a}.
  • As máximas de interferência do arranjo de duas fendas (quando tratamos as fendas como fontes pontuais) ocorrem em ângulos \theta tais que
d\sin\theta = m'\lambda,\qquad m'=0,\pm1,\pm2,\ldots
Ou seja, a m'-ésima máxima de interferência tem \sin\theta_{m'} = \dfrac{m'\lambda}{d}.
Para que uma máxima de interferência caia dentro do máximo central de difração precisamos ter |\sin\theta_{m'}|<\sin\theta_1. Substituindo as expressões acima obtemos a condição sobre m':
\left|\frac{m'\lambda}{d}\right| < \frac{\lambda}{a}\quad\Rightarrow\quad |m'| < \frac{d}{a}.
Se houver igualdade |m'| = \dfrac{d}{a}, a máxima de interferência coincide com um mínimo de difração e, portanto, é suprimida (intensidade zero) — então não conta como “dentro” do máximo central.

Passo 3

Aplicando numericamente a condição do passo anterior:
\frac{d}{a}=\frac{0{,}15\\ \text{mm}}{0{,}030\\ \text{mm}}=5.
A condição é |m'|<5. Os valores inteiros m' que satisfazem isso são
m'=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,
ou seja, 9 máximas de interferência caem dentro do máximo central de difração (a máxima de ordem \pm5 cai exatamente no mínimo de difração e, portanto, não conta).

Passo 4

Agora a parte (b): razão de intensidades. A intensidade do padrão de duas fendas com fenda de largura finita é dada (modelo padrão) por
I(\theta)=I_0\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^{\!2}\cos^{2}\delta,
onde
\beta=\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda},\qquad \delta=\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda},
e I_0 é a intensidade máxima que teria a única fenda ao centro (limite \theta\to0). Explicando:
  • O fator \left(\dfrac{\sin\beta}{\beta}\right)^{2} é o envelope de difração da única fenda (modula a amplitude global).
  • O fator \cos^{2}\delta é o padrão de interferência entre as duas fendas (rápidas oscilações dentro do envelope).
Nas máximas de interferência temos d\sin\theta = m'\lambda, logo
\delta = \frac{\pi d\sin\theta}{\lambda} = \pi m',
e portanto \cos^{2}\delta = \cos^{2}(\pi m') = 1 (porque m' é inteiro). Assim a intensidade da máxima de ordem m' é simplesmente o envelope avaliado naquele ângulo:
I_{m'} = I_0\left(\frac{\sin\beta_{m'}}{\beta_{m'}}\right)^{\!2},
com
\beta_{m'}=\frac{\pi a\sin\theta_{m'}}{\lambda}=\frac{\pi a}{\lambda}\cdot\frac{m'\lambda}{d}=\pi m'\frac{a}{d}.
A razão buscada é então
\frac{I_{m'}}{I_0}=\left(\frac{\sin\!\big(\pi m'\tfrac{a}{d}\big)}{\pi m'\tfrac{a}{d}}\right)^{\!2}.

Passo 5

Calcule para m'=3. Primeiro calcule a razão geométrica a/d:
\frac{a}{d}=\frac{0{,}030\\ \text{mm}}{0{,}15\\ \text{mm}}=0{,}20.
Então
\pi m'\frac{a}{d}=\pi\cdot 3\cdot 0{,}20=0{,}6\pi.
Avalie o seno:
\sin(0{,}6\pi)=\sin\!\left(\frac{3\pi}{5}\right)\approx 0{,}9510565.
O denominador é
\pi m'\frac{a}{d}=0{,}6\pi\approx 1{,}8849556.
Portanto
\frac{I_{3}}{I_0}=\left(\frac{0{,}9510565}{1{,}8849556}\right)^{\!2}\approx (0{,}5050)^{2}\approx 0{,}255.
Em porcentagem isso dá aproximadamente 25{,}5\%.

Resposta

(a) 9 máximas
(b) \dfrac{I_{3}}{I_{0}}\approx 0{,}255 (aprox. 25{,}5\%)

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