- Calcule o erro se
é utilizado para estimar o valor de sen
em
.
- Calcule o erro se
é utilizado para estimar o valor de
em
.
- Por aproximadamente quais valores de
você pode substituir sen
por
com um erro de magnitude não superior a
Justifique sua resposta.
- Quão próxima é a aproximação sen
quando
? Para quais desses valores de
é
?
- A estimativa
é utilizada quando
é pequeno. Calcule o erro quando
.
- A aproximação
é utilizada quando
é pequeno. Utilize o teorema da estimativa do resto para estimar o erro quando
.
- (Continuação do Exercício 41.) Quando
, a série para
se torna uma série alternada. Utilize o teorema da estimativa de séries alternadas para estimar o erro que resulta da substituição de
por
quando
. Compare sua estimativa com aquela obtida no Exercício 41.
Passo 1
Nesse exercício 35, vamos estimar o erro ao usar o polinômio de Taylor de grau 3 de sen x em x=0,1. O conteúdo é Maclaurin de sen x e resto de Lagrange; vamos precisar da expansão em série até a potência x⁵.
Passo 2
A série de Maclaurin de sen x é
O polinômio dado é P₃(x)=x−x³/6, então o erro é aproximadamente o próximo termo: R₃≈x⁵/120. Avaliando em x=0,1:
Passo 3
Nesse exercício 36, vamos estimar o erro ao usar P₄(x)=1+x+x²/2+x³/6+x⁴/24 para eˣ em x=1/2. O conteúdo é Taylor de eˣ e diferença numérica; vamos calcular eˣ e o polinômio.
Passo 4
Calculando numericamente:
e^{1/2} \approx 1{,}6487212707
e^{1/2} \approx 1{,}6487212707
P₄(1/2)=1+0{,}5+0{,}125+0{,}0208333+0{,}00260417=1{,}64843750
O erro é
Passo 5
No exercício 37, queremos os x tais que ao aproximar sen x por x−x³/6 o erro tenha magnitude ≤5×10^{-4}. Usamos o próximo termo da série:
Passo 6
No exercício 38, analisamos sen x≈x quando |x|<10^{-3}. O erro pode ser estimado pelo termo x³/6:
Para saber quando x<sen x: note que para x>0 temos sen x<x, logo x<sen x só ocorre quando x<0 (neste intervalo -10^{-3}<x<0).
Passo 7
No exercício 39, usamos sqrt(1+x)≈1+x/2 para |x|<0,01. O resto de Lagrange de ordem 1 é
então em |x|≤0,01 e t∈[-0,01,0,01], |f’’(t)|≤1/[4·0,99^{3/2}]≈0,254. Assim
Passo 8
No exercício 40, aproximamos eˣ por 1+x+x²/2 para |x|<0,1. O resto de ordem 2 é
logo
Passo 9
No exercício 41, com x<0 temos série alternada para eˣ. Pelo teorema do erro de série alternada, o erro ao truncar após x²/2 é menor que o módulo do próximo termo:
Isso é um pouco menor que a estimativa do exercício 40 (1,84×10^{-4}).
Resposta
- |sen(0,1)−P₃(0,1)|≈8,333×10^{−8}
- |e{1/2}−P₄(1/2)|≈2,8377×10{−4}
- |x|≤(0,06)^{1/5}≈0,57
- Para |x|<10^{−3}, |sen x−x|<1,667×10^{−10}. E x<sen x ocorre quando −10^{−3}<x<0.
- |√(1+x)−(1+x/2)|<1,27×10^{−5}
- |e{x}−(1+x+x{2}/2)|≤1,84×10^{−4}
- Para −0,1<x<0 (série alternada), |erro|≤|x|{3}/6≤1,667×10{−4}, um pouco menor que 1,84×10^{−4}.