1. Calcule o erro se P3(x)=x-(x^3 / 6) é utilizado para estimar o valor de sen x em x=0,1.
  2. Calcule o erro se P4(x)=1+x+(x^2 / 2)+(x^3 / 6)+(x^4 / 24) é utilizado para estimar o valor de e^x em x=1 / 2.
  3. Por aproximadamente quais valores de x você pode substituir sen x por x-(x^3 / 6) com um erro de magnitude não superior a 5 times 10^-4 ? Justifique sua resposta.
  4. Quão próxima é a aproximação sen x=x quando |x|<10^-3? Para quais desses valores de x é x?
  5. A estimativa raiz1+x=1+(x / 2) é utilizada quando x é pequeno. Calcule o erro quando |x|<0,01.
  6. A aproximação e^x=1+x+(x^2 / 2) é utilizada quando x é pequeno. Utilize o teorema da estimativa do resto para estimar o erro quando |x|<0,1.
  7. (Continuação do Exercício 41.) Quando x<0, a série para e^x se torna uma série alternada. Utilize o teorema da estimativa de séries alternadas para estimar o erro que resulta da substituição de e^x por 1+x+(x^2 / 2) quando -0,1. Compare sua estimativa com aquela obtida no Exercício 41.

Passo 1

Nesse exercício 35, vamos estimar o erro ao usar o polinômio de Taylor de grau 3 de sen x em x=0,1. O conteúdo é Maclaurin de sen x e resto de Lagrange; vamos precisar da expansão em série até a potência x⁵.

Passo 2

A série de Maclaurin de sen x é
sen x = x - x^36 + x^5120 - cdots
O polinômio dado é P₃(x)=x−x³/6, então o erro é aproximadamente o próximo termo: R₃≈x⁵/120. Avaliando em x=0,1:
R3(0,1) approx (0,1)^5120 = 10^-5120 = 8,333times10^-8

Passo 3

Nesse exercício 36, vamos estimar o erro ao usar P₄(x)=1+x+x²/2+x³/6+x⁴/24 para eˣ em x=1/2. O conteúdo é Taylor de eˣ e diferença numérica; vamos calcular eˣ e o polinômio.

Passo 4

Calculando numericamente:
e^{1/2} \approx 1{,}6487212707
P₄(1/2)=1+0{,}5+0{,}125+0{,}0208333+0{,}00260417=1{,}64843750
O erro é
|e^1/2-P4(1/2)|approx1,6487212707-1,64843750=2,8377times10^-4

Passo 5

No exercício 37, queremos os x tais que ao aproximar sen x por x−x³/6 o erro tenha magnitude ≤5×10^{-4}. Usamos o próximo termo da série:
|R3(x)|approx|x|^5120<=5times10^-4 implies |x|^5<=0,06 implies |x|<=(0,06)^1/5approx0,57

Passo 6

No exercício 38, analisamos sen x≈x quando |x|<10^{-3}. O erro pode ser estimado pelo termo x³/6:
|sen x-x|approx|x|^36<(10^-3)^36=1,667times10^-10
Para saber quando x<sen x: note que para x>0 temos sen x<x, logo x<sen x só ocorre quando x<0 (neste intervalo -10^{-3}<x<0).

Passo 7

No exercício 39, usamos sqrt(1+x)≈1+x/2 para |x|<0,01. O resto de Lagrange de ordem 1 é
R1(x)=f''(xi)2x^2, f''(t)=-14(1+t)^3/2,
então em |x|≤0,01 e t∈[-0,01,0,01], |f’’(t)|≤1/[4·0,99^{3/2}]≈0,254. Assim
|R1(x)|<=0,2542(0,01)^2=1,27times10^-5

Passo 8

No exercício 40, aproximamos eˣ por 1+x+x²/2 para |x|<0,1. O resto de ordem 2 é
R2(x)=e^xi6x^3, e^xi<= e^0,1approx1,10517,
logo
|R2(x)|<=1,105176(0,1)^3=1,84times10^-4

Passo 9

No exercício 41, com x<0 temos série alternada para eˣ. Pelo teorema do erro de série alternada, o erro ao truncar após x²/2 é menor que o módulo do próximo termo:
|R2(x)|<=|x|^36<=(0,1)^36=1,667times10^-4
Isso é um pouco menor que a estimativa do exercício 40 (1,84×10^{-4}).

Resposta

  1. |sen(0,1)−P₃(0,1)|≈8,333×10^{−8}
  2. |e{1/2}−P₄(1/2)|≈2,8377×10{−4}
  3. |x|≤(0,06)^{1/5}≈0,57
  4. Para |x|<10^{−3}, |sen x−x|<1,667×10^{−10}. E x<sen x ocorre quando −10^{−3}<x<0.
  5. |√(1+x)−(1+x/2)|<1,27×10^{−5}
  6. |e{x}−(1+x+x{2}/2)|≤1,84×10^{−4}
  7. Para −0,1<x<0 (série alternada), |erro|≤|x|{3}/6≤1,667×10{−4}, um pouco menor que 1,84×10^{−4}.

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