1. lim (x, y) (0,0) sen(x^2+y^2)x^2+y^2
  2. lim (x, y) (0,0) 1-cos (x^2+y^2)x^2+y^2
  3. lim (x, y) (0,0) e^-1 /(x^2+y^2)
  4. lim (x, y) (0,0) e^-1 / raizx^2+y^2raizx^2+y^2

Passo 1

Temos quatro limites de funções de duas variáveis quando (x,y)to(0,0): os itens 9 e 10 envolvem expressões trigonométricas do tipo sin(x^2+y^2)x^2+y^2 e 1-cos(x^2+y^2)x^2+y^2, enquanto os itens 11 e 12 envolvem funções exponenciais e^-1/(x^2+y^2) e e^-1/raizx^2+y^2. Para resolvê-los, vamos usar coordenadas polares e os limites clássicos limtto0sin tt=1 e limtto01-cos tt=tfrac12.
Fazemos a mudança para coordenadas polares: definimos (x,y)=(rcostheta,rsintheta) com r=raizx^2+y^2. Assim cada função passa a depender apenas de rto0^+, e se o limite em r existe e independe de theta, então o limite original existe.

Passo 2

No item 9 temos
lim(x,y)to(0,0)sin(x^2+y^2)x^2+y^2=limrto0sin(r^2)r^2

Passo 3

Fazendo a substituição t=r^2, quando rto0 temos tto0 e portanto
limrto0sin(r^2)r^2=limtto0sin tt=1

Passo 4

No item 10 temos
lim(x,y)to(0,0)1-cos(x^2+y^2)x^2+y^2=limrto01-cos(r^2)r^2

Passo 5

De novo com t=r^2 obtém-se
limrto01-cos(r^2)r^2=limtto01-cos tt=tfrac12

Passo 6

No item 11
lim(x,y)to(0,0)e^-1/(x^2+y^2)=limrto0e^-1/r^2

Passo 7

Como para rto0^+ temos 1/r^2to+infty e então -1/r^2to-infty, segue que e^-1/r^2to0.

Passo 8

No item 12
lim(x,y)to(0,0)e^-1/raizx^2+y^2raizx^2+y^2=limrto0e^-1/rr

Passo 9

Aqui 1/rto+infty faz e^-1/rto0 muito mais rápido que r vai a zero, logo a razão tende a zero.

Resposta

  1. 1; 10) 1/2; 11) 0; 12) 0

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