Passo 1
Temos quatro limites de funções de duas variáveis quando
: os itens 9 e 10 envolvem expressões trigonométricas do tipo
e
, enquanto os itens 11 e 12 envolvem funções exponenciais
e
. Para resolvê-los, vamos usar coordenadas polares e os limites clássicos
e
.
Fazemos a mudança para coordenadas polares: definimos com
. Assim cada função passa a depender apenas de
, e se o limite em
existe e independe de
, então o limite original existe.
Fazemos a mudança para coordenadas polares: definimos
Passo 2
No item 9 temos
Passo 3
Fazendo a substituição
, quando
temos
e portanto
Passo 4
No item 10 temos
Passo 5
De novo com
obtém-se
Passo 6
No item 11
Passo 7
Como para
temos
e então
, segue que
.
Passo 8
No item 12
Passo 9
Aqui
faz
muito mais rápido que
vai a zero, logo a razão tende a zero.
Resposta
- 1; 10) 1/2; 11) 0; 12) 0