lim (x, y) (0,0) 2 x y^3x^2+y^6
lim (x, y) (0,0) 2 x y^4x^4+y^6

Passo 1

O enunciado pede para estudar dois limites de funções de duas variáveis em (0,0):
L1 = lim(x,y)to(0,0) 2x,y^3x^2+y^6, L2 = lim(x,y)to(0,0) 2x,y^4x^4+y^6
O conteúdo aqui é limite em várias variáveis e vamos usar o método de trajetórias (escolher curvas que se aproximam de (0,0)) para testar se os valores coincidem ou não.

Passo 2

Analisando L1 ao longo da reta y=0, temos
2xcdot0^3x^2+0^6=0
Ou seja, pela trajetória y=0, a função tende a 0.

Passo 3

Para L1 ao longo da curva x=y^3, substituímos:
2,(y^3),y^3(y^3)^2+y^6 =2,y^6y^6+y^6 =2,y^62,y^6=1
Pela curva x=y^3 o limite vale 1. Como obtivemos 0 e 1 em trajetórias diferentes, concluímos que L1 não existe.

Passo 4

Agora o segundo limite L2. Pela reta x=0,
2cdot0,y^40^4+y^6=0
Logo, por x=0 o valor tende a 0.

Passo 5

Para L2 ao longo da curva x=y^3/2, escrevemos
2,(y^3/2),y^4(y^3/2)^4+y^6 =2,y^11/2y^6+y^6 =2,y^11/22,y^6 =y^11/2y^6 =y^-1/2
Quando yto0^+, y^-1/2to+infty. Ou seja, em vez de convergir a um número finito, a função cresce sem limite. Logo, L2 também não existe.

Resposta

O primeiro limite não existe.
O segundo limite não existe.

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