\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sin x}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sin x}{x}.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{\sin x}{x}.
  • O ponto de interesse do limite é x=2.
  • Não há imagens nem outras condições adicionais fornecidas.
  • Nota importante: adota-se a convenção usual de que o argumento de \sin está em radianos.

Passo 2

Ideia principal que vamos usar (explicação didática): quando uma função é obtida por operações algébricas (soma, produto, quociente) de funções contínuas, e o denominador é diferente de zero no ponto, então o limite quando x tende a esse ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto — ou seja, podemos usar substituição direta.
Explicando o conceito de continuidade de modo simples:
  • Uma função g é contínua em a se \lim_{x\to a} g(x)=g(a). Intuitivamente, não há “buracos” ou “saltos” em a.
  • Propriedade útil: se g e h são contínuas em a e h(a)\neq 0, então \dfrac{g}{h} é contínua em a e
\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{g(a)}{h(a)}.
Aqui as variáveis são: g(x) e h(x) são funções quaisquer; a é o ponto onde tomamos o limite.

Passo 3

Verificação das hipóteses para aplicar a substituição direta:
  • A função \sin x é contínua em todo \mathbb{R}. (É uma função trigonométrica elementar, definida por limites ou série, conhecida por ser contínua.)
  • A função x (a identidade) é contínua em todo \mathbb{R}.
  • No ponto x=2 o denominador vale 2, que é diferente de zero.
Como temos duas funções contínuas e o denominador não se anula em 2, a razão \dfrac{\sin x}{x} é contínua em x=2 e podemos substituir x=2 diretamente no limite.

Passo 4

Aplicando a substituição direta:
\lim_{x\to 2}\frac{\sin x}{x}=\frac{\sin(2)}{2}.

Passo 5

Para deixar mais concreto, uma aproximação numérica (se você quiser um valor decimal):
\sin(2)\approx 0,9092974268,
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\frac{\sin(2)}{2}\approx 0,4546487134.

Passo 6

Observação sobre métodos alternativos: não há indeterminação do tipo 0/0 nem \infty/\infty aqui, então regras como a de L’Hôpital não são necessárias. A resolução mais direta e segura neste caso é justamente a substituição, porque a função é contínua em 2.

Passo 7

Resumo e encorajamento: o raciocínio essencial é verificar continuidade e denominador não nulo; a partir daí o limite cai como uma substituição. Você conseguiu — é um tipo de limite que aparece muito em provas; lembre-se sempre de checar se o denominador zera no ponto antes de substituir.

Resposta

\dfrac{\sin(2)}{2}

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