Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto de interesse do limite é
. - Não há imagens nem outras condições adicionais fornecidas.
- Nota importante: adota-se a convenção usual de que o argumento de
está em radianos.
Passo 2
Ideia principal que vamos usar (explicação didática): quando uma função é obtida por operações algébricas (soma, produto, quociente) de funções contínuas, e o denominador é diferente de zero no ponto, então o limite quando
tende a esse ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto — ou seja, podemos usar substituição direta.
Explicando o conceito de continuidade de modo simples:
- Uma função
é contínua em se . Intuitivamente, não há “buracos” ou “saltos” em . - Propriedade útil: se
e são contínuas em e , então é contínua em e
Aqui as variáveis são:
e
são funções quaisquer;
é o ponto onde tomamos o limite.
Passo 3
Verificação das hipóteses para aplicar a substituição direta:
- A função
é contínua em todo . (É uma função trigonométrica elementar, definida por limites ou série, conhecida por ser contínua.) - A função
(a identidade) é contínua em todo . - No ponto
o denominador vale , que é diferente de zero.
Como temos duas funções contínuas e o denominador não se anula em
, a razão
é contínua em
e podemos substituir
diretamente no limite.
Passo 4
Aplicando a substituição direta:
Passo 5
Para deixar mais concreto, uma aproximação numérica (se você quiser um valor decimal):
logo
Passo 6
Observação sobre métodos alternativos: não há indeterminação do tipo
nem
aqui, então regras como a de L’Hôpital não são necessárias. A resolução mais direta e segura neste caso é justamente a substituição, porque a função é contínua em
.
Passo 7
Resumo e encorajamento: o raciocínio essencial é verificar continuidade e denominador não nulo; a partir daí o limite cai como uma substituição. Você conseguiu — é um tipo de limite que aparece muito em provas; lembre-se sempre de checar se o denominador zera no ponto antes de substituir.