Ache utma formula para calcular a soma:
sumn=0^+infty x^2 n+1, para |x|<1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma fórmula que calcule a soma da série infinita sumn=0^+infty x^2n+1, onde |x| < 1. Isso está relacionado ao conteúdo de séries geométricas, e para resolver, vamos precisar entender como somar termos de uma série que segue uma razão constante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série: quando n = 0, temos x^2(0)+1 = x; quando n = 1, x^2(1)+1 = x^3; e assim por diante. Então, a série fica assim:
x + x^3 + x^5 + x^7 + dots

Passo 3

Perceba que cada termo depois do primeiro é multiplicado por x^2. Isso significa que estamos lidando com uma série geométrica, onde cada termo é a razão r = x^2 vezes o termo anterior.

Passo 4

Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é dada pela fórmula:
S = a1 - r
onde:
  • a é o primeiro termo da série,
  • r é a razão comum,
  • e |r| < 1 para que a série converja.

Passo 5

No nosso caso, o primeiro termo a = x e a razão r = x^2. Substituindo esses valores na fórmula da soma, temos:
S = x1 - x^2

Resposta

A soma da série sumn=0^+infty x^2n+1 para |x| < 1 é:
S = x1 - x^2

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