Encontre a expressão da derivada da função x y^{2}+y^{3}=2 x-2 y+2 para um ponto em que abscissa e ordenada têm o mesmo valor.

Passo 1

O enunciado nos dá uma relação implícita entre x e y,
x\,y^{2}+y^{3}=2x-2y+2,
e pede a derivada \frac{dy}{dx} nos pontos em que a abscissa e a ordenada coincidem ( x=y).
O conteúdo principal é derivação implícita.

Passo 2

Aplicamos \frac{d}{dx} em ambos os lados da igualdade. No lado esquerdo, usando que y=y(x), temos
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y^{2}\bigr)=y^{2}+2x\,y\,y',\quad \frac{d}{dx}\bigl(y^{3}\bigr)=3y^{2}\,y'.
No lado direito,
\frac{d}{dx}(2x-2y+2)=2-2y'.
Assim surge a equação
y^{2}+2x\,y\,y'+3y^{2}\,y' \;=\;2-2y'.

Passo 3

Agrupando os termos que envolvem y' e isolando-o, obtemos
y^{2} + \bigl(2x\,y+3y^{2}+2\bigr)\,y' = 2 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(2x\,y+3y^{2}+2\bigr)\,y' = 2 - y^{2},
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y'=\frac{2 - y^{2}}{2x\,y+3y^{2}+2}.

Passo 4

Agora impondo x=y, substituímos x por y na expressão acima, de modo que
2x\,y+3y^{2}+2 = 2y^{2}+3y^{2}+2 = 5y^{2}+2 \quad\text{e}\quad 2 - y^{2}
permanece o mesmo. Assim, em x=y temos
y'=\frac{2 - y^{2}}{5y^{2}+2}.
Como x=y, podemos reescrever em termos de x:
y'=\frac{2 - x^{2}}{5x^{2}+2}.

Resposta

\frac{dy}{dx}\Big|_{x=y} = \frac{2 - x^{2}}{5x^{2}+2}.

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