Se \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a e g(x) é contínua em a, então \lim _{n \rightarrow \infty} g\left(a_{n}\right)=g(a). Seja g(x)=|x| / x se x \neq 0, e g(0)=0. A sequência \left\{e^{-n}\right\} converge para zero. Verifique que g\left(e^{-n}\right) \rightarrow 1 quando n \rightarrow \infty, \operatorname{logo} não converge para g(0). Note que se h(x)=x^{2} /|x| se x \neq 0, e h(0)=0, então \lim _{n \rightarrow \infty} h\left(e^{-n}\right)=h(0).

Passo 1

O enunciado apresenta a sequência a_n = e^{-n}\) que converge para \(0\) e define a função \[g(x) = \begin{cases} \dfrac{|x|}{x}, & x \neq 0,\\[6pt] 0, & x = 0. \end{cases}
Como \lim_{n\to\infty}a_n=0\], queremos verificar \[\lim_{n\to\infty}g(a_n) e compará-la com g(0), testando a continuidade de g em 0. Além disso, há a função
h(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2}{|x|}, & x \neq 0,\\[4pt] 0, & x = 0, \end{cases}
para a qual devemos checar (\lim_{n\to\infty}h(a_n)].]

Passo 2

Para todo n temos e^{-n}>0, logo |e^{-n}|=e^{-n} e
g(e^{-n})=\frac{|e^{-n}|}{e^{-n}}=1.
Portanto
\lim_{n\to\infty}g(e^{-n})=1.

Passo 3

Por definição, g(0)=0. Logo a sequência g(e^{-n}) converge para 1\neq 0=g(0). Isso mostra que g não é contínua em 0 e que a hipótese de continuidade no teorema é essencial.

Passo 4

Para h, como e^{-n}>0 temos |e^{-n}|=e^{-n} e
h(e^{-n})=\frac{(e^{-n})^2}{|e^{-n}|}=\frac{e^{-2n}}{e^{-n}}=e^{-n}.
Logo
\lim_{n\to\infty}h(e^{-n})=0,
que coincide com h(0). Isso indica que h é contínua em 0.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}g(e^{-n})=1\neq g(0)=0. \displaystyle \lim_{n\to\infty}h(e^{-n})=0=h(0).

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