A sequência \left\{(2+\cos n) / n^{2}\right\} converge? Podemos usar o limite do quociente nesse caso?

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n} = \frac{2 + \cos n}{n^{2}}
e pergunta se ela converge e se podemos usar a “regra do limite do quociente” (isto é, \lim (u_{n}/v_{n}) = (\lim u_{n})/(\lim v_{n})) para calculá-la. O conteúdo aqui é análise de convergência de sequência e uso do teorema do confronto.

Passo 2

Para aplicar a regra do limite do quociente precisaríamos que \lim(2+\cos n) e \lim n^{2} existissem em \mathbb{R} (com \lim n^{2}\neq 0). Mas \cos n oscila sem limite quando n\to\infty, de modo que \lim(2+\cos n) não existe. Logo, não podemos usar diretamente
\lim_{n\to\infty}\frac{2+\cos n}{n^{2}} =\frac{\lim(2+\cos n)}{\lim n^{2}}.

Passo 3

Em vez disso, usamos o teorema do confronto. Como -1\le \cos n\le 1, temos
1 = 2 - 1 \;\le\; 2 + \cos n \;\le\; 2 + 1 = 3.
Dividindo tudo por n^{2}>0, fica
\frac{1}{n^{2}} \;\le\; \frac{2+\cos n}{n^{2}} \;\le\; \frac{3}{n^{2}}.
Sabemos que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}} = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}\frac{3}{n^{2}} = 0.
Pelo teorema do confronto,
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{2+\cos n}{n^{2}} = 0.

Resposta

A sequência converge para 0. Não podemos usar a regra do limite do quociente porque o numerador não tem limite; em vez disso, aplicamos o teorema do confronto.

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