Quando uma série é convergente? Dê dois exemplos. Dê exemplo de uma série divergente. Qual é o significado de \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=5 ? Qual é o limite da sequência \left\{a_{n}\right\} ? As somas parciais ficam positivas a partir de algum n_{0} ?

Passo 1

O enunciado pergunta quando uma série numérica é convergente, pede exemplos de séries convergentes e divergentes, e depois interpretações ligadas a \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=5, ao limite de a_{n} e ao sinal das somas parciais.

Passo 2

Definição de convergência de série. Sejam as somas parciais
S_{n} = \sum_{k=1}^{n} a_{k}.
Dizemos que a série \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} é convergente se a sequência \{S_{n}\} converge para um limite finito, isto é, existe L\in\mathbb{R} tal que
\lim_{n\to\infty}S_{n} = L.

Passo 3

Dois exemplos clássicos de séries convergentes:
  1. Série geométrica com |r|<1:
\sum_{n=0}^{\infty}r^{n} = \frac{1}{1-r}.
  1. Série-p com expoente p>1:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
(converge por teste da integral ou critério de comparação).

Passo 4

Exemplo de série divergente: a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
pois suas somas parciais crescem sem limite (divergem para +\infty).

Passo 5

Significado de \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=5. Isso significa que as somas parciais satisfazem
\lim_{n\to\infty}S_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_{k} = 5.

Passo 6

Limite dos termos a_{n}. Uma condição necessária para convergência é
\lim_{n\to\infty}a_{n} = 0.

Passo 7

Somas parciais positivas a partir de algum n_{0}. Como S_{n}\to5>0, existe n_{0} tal que para todo n\ge n_{0} temos
S_{n} > 0.

Resposta

  • Uma série \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} é convergente se a sequência de somas parciais \{S_{n}\} converge para um valor finito.
  • Exemplos de séries convergentes:
  1. \sum_{n=0}^{\infty}r^{n} com |r|<1.
  2. \sum_{n=1}^{\infty}1/n^{p} com p>1.
  • Exemplo de série divergente: \sum_{n=1}^{\infty}1/n.
  • \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=5 significa \lim_{n\to\infty}S_{n}=5.
  • \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
  • As somas parciais ficam positivas a partir de algum n_{0}, pois S_{n}\to5>0.

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