Quando uma série é convergente? Dê dois exemplos. Dê exemplo de uma série divergente. Qual é o significado de
? Qual é o limite da sequência
? As somas parciais ficam positivas a partir de algum
?
Passo 1
O enunciado pergunta quando uma série numérica é convergente, pede exemplos de séries convergentes e divergentes, e depois interpretações ligadas a
, ao limite de
e ao sinal das somas parciais.
Passo 2
Definição de convergência de série. Sejam as somas parciais
Dizemos que a série
é convergente se a sequência
converge para um limite finito, isto é, existe
tal que
Passo 3
Dois exemplos clássicos de séries convergentes:
- Série geométrica com
:
- Série-p com expoente
:
(converge por teste da integral ou critério de comparação).
Passo 4
Exemplo de série divergente: a série harmônica
pois suas somas parciais crescem sem limite (divergem para
).
Passo 5
Significado de
. Isso significa que as somas parciais satisfazem
Passo 6
Limite dos termos
. Uma condição necessária para convergência é
Passo 7
Somas parciais positivas a partir de algum
. Como
, existe
tal que para todo
temos
Resposta
- Uma série
é convergente se a sequência de somas parciais converge para um valor finito. - Exemplos de séries convergentes:
-
com . -
com .
- Exemplo de série divergente:
. -
significa . -
. - As somas parciais ficam positivas a partir de algum
, pois .