(a) O que é uma sequência? (b) O que significa dizer que \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=8 ? Desenhe um intervalo simétrico com centro em 8 e raio \varepsilon>0; pode ficar um número infinito de termos a_{n} de fora desse intervalo?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) Definir o que é uma sequência numérica.
(b) Explicar o significado de
\lim_{n\to\infty}a_n = 8
e, para isso, construir um intervalo simétrico em torno de 8 com raio \varepsilon>0 e discutir se é possível ter infinitos termos a_n fora desse intervalo.

Passo 2

Uma sequência numérica é simplesmente uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais \mathbb{N} e cujo contradomínio é, normalmente, os reais \mathbb{R}. Em notação, escrevemos
a\colon \mathbb{N}\to\mathbb{R},
onde a cada n\in\mathbb{N} associamos um número real a_n. Em outras palavras, uma sequência é a lista ordenada
(a_1,\;a_2,\;a_3,\;\dots).

Passo 3

Dizer que
\lim_{n\to\infty}a_n = 8
significa, pela definição de limite de sequência, que para todo \varepsilon>0 existe um número natural N tal que
\text{se }n > N,\text{ então }a_n\in(8-\varepsilon,\;8+\varepsilon).ã
Em outras palavras, a partir de um certo índice N, todos os termos da sequência ficam dentro do intervalo aberto de centro em 8 e raio \varepsilon.

Passo 4

O intervalo simétrico de centro em 8 e raio \varepsilon é
(8-\varepsilon,\;8+\varepsilon).
Pela definição de limite, só podem existir no máximo um número finito de termos a_n fora desse intervalo, pois a partir de algum índice N todos os termos devem estar dentro. Logo, não pode haver infinitos termos fora do intervalo; ao contrário, depois de N todos permanecem dentro.

Resposta

(a) Uma sequência é uma função a\colon\mathbb{N}\to\mathbb{R}, normalmente denotada por (a_n)_{n=1}^\infty.
(b) \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=8 significa que, para todo \varepsilon>0, existe N tal que n>N implica
a_n\in(8-\varepsilon,\;8+\varepsilon).
O intervalo simétrico é (8-\varepsilon,8+\varepsilon) e só há finitos termos a_n fora dele.

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