Se \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a, mostre que o limite da média aritmética dos n-ésimos termos dessa sequência também converge para a. A recíproca é verdadeira? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá que a sequência (x_n) converte para um número real a, isto é,
\lim_{n\to\infty} x_n = a.
Perguntas a responder:
  1. Mostrar que a sequência das médias aritméticas
s_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k
converge para a, isto é, \lim_{n\to\infty} s_n = a.
2) Verificar se a recíproca é verdadeira: se \lim_{n\to\infty} s_n = a então necessariamente \lim_{n\to\infty} x_n = a? Justificar.
Informações relevantes dadas: a convergência x_n\to a. O que é pedido: provar a convergência das médias e decidir sobre a recíproca (com justificativa).

Passo 2

Vamos começar definindo claramente a sequência das médias e o que significa convergir. Definição: \;s_n=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k.
Significado de convergência: dizer que s_n\to a significa que para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N, |s_n-a|<\varepsilon.
A estratégia natural é fazer uma prova \varepsilon- N: dado \varepsilon>0 vamos mostrar que para n grande o valor |s_n-a| fica pequeno.

Passo 3

Usamos a desigualdade triangular e manipulamos |s_n-a|. Observe que
s_n-a=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (x_k-a).
Aplicando a desigualdade triangular (valor absoluto da soma é ≤ soma dos valores absolutos) obtemos
|s_n-a|=\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (x_k-a)\right|\le \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n |x_k-a|.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty} x_n = a, para o \varepsilon>0 dado existe um índice N tal que, para todo k\ge N,
|x_k-a|<\varepsilon.
Agora separamos a soma \sum_{k=1}^n |x_k-a| em duas partes: os primeiros N-1 termos fixos e os termos de N até n:
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n |x_k-a| = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N-1} |x_k-a| + \frac{1}{n}\sum_{k=N}^n |x_k-a|.

Passo 5

A segunda parcela é fácil de estimar, pois cada termo do somatório tem módulo menor que \varepsilon. Assim
\frac{1}{n}\sum_{k=N}^n |x_k-a| \le \frac{1}{n}\cdot (n-N+1)\cdot \varepsilon \le \varepsilon.
A primeira parcela é uma constante dividida por n. Defina
M:=\sum_{k=1}^{N-1} |x_k-a|,
que é um número fixo (dependente de N, e portanto de \varepsilon, mas finito). Então
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N-1} |x_k-a| = \frac{M}{n}.

Passo 6

Juntando as estimativas das duas parcelas, para todo n\ge N temos
|s_n-a| \le \frac{M}{n} + \varepsilon.
Agora, como \dfrac{M}{n}\to 0 quando n\to\infty, existe n_0 tal que, para todo n\ge n_0,
\frac{M}{n} < \varepsilon.
Portanto, para n\ge \max\{N,n_0\} obtemos
|s_n-a| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon.

Passo 7

Como a desigualdade acima vale para todo \varepsilon>0 (podemos começar substituindo \varepsilon por \varepsilon/2 se quisermos obter diretamente |s_n-a|<\varepsilon), concluímos que |s_n-a|\to 0. Ou seja,
\lim_{n\to\infty} s_n = a.
Comentário didático: a ideia central é que os termos tardios x_k ficam próximos de a, então a média, que é uma mistura de muitos termos tardios quando n é grande, também fica próxima de a. Os poucos termos iniciais afetavam a média por um valor que decresce como 1/n.

Passo 8

Agora a recíproca: será que, se \lim_{n\to\infty} s_n = a, então \lim_{n\to\infty} x_n = a? A resposta é NÃO em geral. Vamos dar um contraexemplo simples e explicá-lo bem.
Considere a sequência (x_n) dada por
x_n = (-1)^n.
Esta sequência não converge: as subsequências com índices pares valem +1 e as com índices ímpares valem -1; portanto não existe um único limite. Entretanto calculemos as médias
s_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (-1)^k.
Se n=2m é par, as somas aparecem em pares (-1)+1=0 e portanto \sum_{k=1}^{2m} (-1)^k = 0, logo s_{2m}=0. Se n=2m+1 é ímpar, a soma vale -1 (pois é a soma dos primeiros 2m termos, que é 0, mais o termo extra (-1)), então
s_{2m+1} = -\frac{1}{2m+1} \xrightarrow[m\to\infty]{} 0.
Logo s_n\to 0. Temos, portanto, um exemplo onde as médias convergem (para 0) mas a sequência original não converge. Isso prova que a recíproca é falsa.

Resposta

A média aritmética s_n=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k converge para a, ou seja \displaystyle \lim_{n\to\infty} s_n = a.
A recíproca é falsa; por exemplo, para x_n = (-1)^n as médias s_n convergem para 0 enquanto x_n não converge.

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