Dada uma sequência de números positivos x_{n}, com \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a, prove que o limite da média geométrica dos seus n-ésimos termos também é a.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência de números positivos \;x_n>0\; e afirma que
\lim_{n\to\infty} x_n = a.
O que se pede: provar que a média geométrica dos primeiros n termos,
G_n=\bigl(x_1x_2\cdots x_n\bigr)^{1/n},
satisfaça
\lim_{n\to\infty} G_n = a.
Dados relevantes que temos: todos os x_n são positivos e a sequência converge para \;a\; (note que a pode ser 0 ou a>0). Não vou resolver ainda aqui, só deixei explícito o objetivo e as hipóteses.
Passo 2
Vamos tratar separadamente os dois casos possíveis para a: (I) \;a>0\; e (II) \;a=0\;. Vou começar pelo caso \;a>0\;. A ideia é transformar a média geométrica em média aritmética aplicando logaritmo, usar um resultado sobre médias aritméticas (o lema de Cesàro) e então voltar com exponencial. Primeiro nota técnica: como todos os x_n>0, o logaritmo natural \ln x_n está bem definido para todo n.
Passo 3
Mostro que, em \;a>0\;, vale \;\ln x_n \to \ln a\;. Isso decorre da continuidade da função \ln em (0,\infty): uma função contínua envia sequências convergentes em convergentes para o valor da função no limite. Então, definindo
y_n := \ln x_n,
temos
\lim_{n\to\infty} y_n = \ln a.
Passo 4
Aplico agora o lema de Cesàro (mostro-o em detalhe a seguir): se \;y_n\to L\;, então as médias aritméticas
\overline{y}_n := \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n y_k
satisfazem \;\overline{y}_n\to L\;. Vou provar esse lema porque é essencial e simples.
Prova do lema de Cesàro. Seja \;y_n\to L\;. Dado \varepsilon>0, existe N tal que |y_n-L|<\varepsilon para todo n\ge N. Escrevemos, para n\ge N,
Como \varepsilon>0 era arbitrário, segue \overline{y}_n\to L. (Se quiser, ajustando constantes dá-se <\varepsilon direto, mas o argumento acima já garante a convergência.)
Passo 5
Voltemos ao nosso problema com \;y_n=\ln x_n e \;L=\ln a. Pelo lema de Cesàro,
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln x_k \longrightarrow \ln a.
Agora usamos a exponencial (continua): aplicando \exp aos dois membros, obtemos
Portanto, no caso \;a>0\; concluímos \;G_n\to a\;.
Passo 6
Agora trate o caso \;a=0\;. Queremos mostrar que G_n\to 0. Seja \varepsilon>0. Como x_n\to 0, existe N tal que \;x_n<\varepsilon\; para todo n\ge N. Defina
M := \max\{x_1,x_2,\dots,x_{N-1}\},
se N=1 então não há termos iniciais e podemos tomar M:=1 (qualquer constante funciona). Para n\ge N temos a desigualdade de produto
Ao passar para o limite n\to\infty: a primeira fator M^{(N-1)/n}\to 1 e o expoente do \varepsilon satisfaz (n-N+1)/n\to 1, logo o lado direito tende para \varepsilon. Assim
\limsup_{n\to\infty} G_n \le \varepsilon.
Como \varepsilon>0 era arbitrário, segue \lim_{n\to\infty} G_n = 0. Portanto, no caso a=0 também temos G_n\to a.
Passo 7
Juntando os dois casos tratados ( a>0 e a=0 ), concluímos que para qualquer sequência positiva \;x_n com \lim_{n\to\infty} x_n = a vale
\lim_{n\to\infty} \bigl(x_1x_2\cdots x_n\bigr)^{1/n} = a.
Boa! Você acaba de ver a ideia: usar log para transformar média geométrica em média aritmética e aplicar Cesàro; e se o limite é zero, dominar o produto por potências pequenas. Força nos estudos — dá pra entender e repetir isso na prova.