Mostre que se uma sequência de Cauchy \left(a_{n}\right) tem uma subsequência que converge para a, então a_{n} \rightarrow a.

Passo 1

O enunciado dá duas informações e faz uma única pergunta. Vou listar tudo claramente:
  • Informações dadas:
    1. A sequência \left(a_{n}\right) é de Cauchy. Ou seja, tem a propriedade especial de aproximação entre seus termos.
    2. Existe uma subsequência \left(a_{n_k}\right) que converge para um número real a. Em símbolos: \lim_{k\to\infty} a_{n_k} = a.
  • O que precisa ser provado:
    Mostrar que a sequência original converge para o mesmo limite a. Em símbolos: provar que \lim_{n\to\infty} a_n = a.

Passo 2

Vamos lembrar com cuidado as definições que vamos usar (isso é importante para montar a prova passo a passo).
  • Definição de sequência de Cauchy: \left(a_n\right) é Cauchy se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo m,n\ge N,
|a_m-a_n|<\varepsilon.
Aqui a ideia é: depois de certo índice todos os termos ficam mutuamente muito próximos.
  • Definição de convergência de subsequência: \left(a_{n_k}\right) converge para a se, para todo \varepsilon>0, existe K\in\mathbb{N} tal que, para todo k\ge K,
|a_{n_k}-a|<\varepsilon.
Ou seja, os termos da subsequência ficam arbitrariamente próximos de a para índices grandes k.
Vou usar essas duas definições juntas para construir a prova.

Passo 3

Uma propriedade simples sobre subsequências que preciso usar: os índices n_k que definem a subsequência são estritamente crescentes e, portanto, tendem a infinito. Em palavras: dado qualquer inteiro N existe k tal que n_k\ge N. Isso é óbvio porque os n_k continuam aumentando sem limite.
Essa propriedade permite que, depois de escolher um certo N (vindo da propriedade de Cauchy), eu consiga encontrar um termo da subsequência cuja posição seja maior ou igual a esse N.

Passo 4

Agora começo a prova propriamente dita com o clássico argumento \varepsilon- \delta (aqui \varepsilon e índices naturais).
Seja arbitrário \varepsilon>0. Vou provar que existe N_0 tal que, para todo n\ge N_0, vale |a_n-a|<\varepsilon.
Pela propriedade de Cauchy aplicada a \varepsilon/2, existe N_1\in\mathbb{N} tal que, para todo m,n\ge N_1,
|a_m-a_n|<\frac{\varepsilon}{2}.

Passo 5

Pela convergência da subsequência \left(a_{n_k}\right) para a, aplicada a \varepsilon/2, existe K_1\in\mathbb{N} tal que, para todo k\ge K_1,
|a_{n_k}-a|<\frac{\varepsilon}{2}.
Agora, usando que os índices n_k tendem a infinito, podemos escolher k suficientemente grande de modo que simultaneamente k\ge K_1 e n_k\ge N_1. Chame esse índice escolhido de K e o respectivo índice da sequência de N_2 := n_K. Então temos duas coisas úteis:
|a_{n_K}-a|<\frac{\varepsilon}{2} \qquad\text{e}\qquad n_K \ge N_1.

Passo 6

Defina N_0 := n_K. Vou mostrar que para todo n\ge N_0 temos |a_n-a|<\varepsilon.
Se n\ge N_0 = n_K, então também n \ge N_1 (porque n_K\ge N_1). Como n\ge N_1 e n_K\ge N_1, pela propriedade de Cauchy com m=n e n=n_K obtemos
|a_n - a_{n_K}| < \frac{\varepsilon}{2}.
Já pela escolha de K sabemos que
|a_{n_K} - a| < \frac{\varepsilon}{2}.
Aplicando a desigualdade triangular (que diz que |x+ y|\le |x|+|y|), obtemos, para n\ge N_0,
|a_n - a| \le |a_n - a_{n_K}| + |a_{n_K} - a| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.

Passo 7

Como a escolha de \varepsilon>0 foi arbitrária, mostramos que existe N_0 (dependente de \varepsilon) tal que, para todo n\ge N_0, |a_n-a|<\varepsilon. Isto é exatamente a definição de \lim_{n\to\infty} a_n = a.
Intuitivamente: a propriedade de Cauchy garante que qualquer termo suficientemente à frente da sequência está bem próximo de qualquer outro termo suficientemente à frente; a subsequência dá-nos um termo específico (próximo de a) que também fica à frente; combinando os dois obtemos que todos os termos além de certo ponto estão próximos de a.

Resposta

\displaystyle a_n\to a

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