Mostre que se uma sequência de Cauchy
tem uma subsequência que converge para
, então
.
Passo 1
O enunciado dá duas informações e faz uma única pergunta. Vou listar tudo claramente:
-
Informações dadas:
- A sequência
é de Cauchy. Ou seja, tem a propriedade especial de aproximação entre seus termos. - Existe uma subsequência
que converge para um número real . Em símbolos: .
- A sequência
-
O que precisa ser provado:
Mostrar que a sequência original converge para o mesmo limite. Em símbolos: provar que .
Passo 2
Vamos lembrar com cuidado as definições que vamos usar (isso é importante para montar a prova passo a passo).
- Definição de sequência de Cauchy:
é Cauchy se, para todo , existe tal que, para todo ,
Aqui a ideia é: depois de certo índice todos os termos ficam mutuamente muito próximos.
- Definição de convergência de subsequência:
converge para se, para todo , existe tal que, para todo ,
Ou seja, os termos da subsequência ficam arbitrariamente próximos de
para índices grandes
.
Vou usar essas duas definições juntas para construir a prova.
Passo 3
Uma propriedade simples sobre subsequências que preciso usar: os índices
que definem a subsequência são estritamente crescentes e, portanto, tendem a infinito. Em palavras: dado qualquer inteiro
existe
tal que
. Isso é óbvio porque os
continuam aumentando sem limite.
Essa propriedade permite que, depois de escolher um certo
(vindo da propriedade de Cauchy), eu consiga encontrar um termo da subsequência cuja posição seja maior ou igual a esse
.
Passo 4
Agora começo a prova propriamente dita com o clássico argumento
-
(aqui
e índices naturais).
Seja arbitrário
. Vou provar que existe
tal que, para todo
, vale
.
Pela propriedade de Cauchy aplicada a
, existe
tal que, para todo
,
Passo 5
Pela convergência da subsequência
para
, aplicada a
, existe
tal que, para todo
,
Agora, usando que os índices
tendem a infinito, podemos escolher
suficientemente grande de modo que simultaneamente
e
. Chame esse índice escolhido de
e o respectivo índice da sequência de
. Então temos duas coisas úteis:
Passo 6
Defina
. Vou mostrar que para todo
temos
.
Se
, então também
(porque
). Como
e
, pela propriedade de Cauchy com
e
obtemos
Já pela escolha de
sabemos que
Aplicando a desigualdade triangular (que diz que
), obtemos, para
,
Passo 7
Como a escolha de
foi arbitrária, mostramos que existe
(dependente de
) tal que, para todo
,
. Isto é exatamente a definição de
.
Intuitivamente: a propriedade de Cauchy garante que qualquer termo suficientemente à frente da sequência está bem próximo de qualquer outro termo suficientemente à frente; a subsequência dá-nos um termo específico (próximo de
) que também fica à frente; combinando os dois obtemos que todos os termos além de certo ponto estão próximos de
.