1. Se lim x 0^+ f(x)=L neq 0, então
lim (x, y) (0,0) x^2+y^2f(x^2+y^2)=0

Passo 1

A questão pede para calcular lim(x,y)to(0,0)x^2+y^2f(x^2+y^2) sabendo que limtto0^+f(t)=Lneq0. O conteúdo é limites de funções de várias variáveis e vamos usar a mudança de variável r=x^2+y^2 e um argumento de estimativa (teorema do sanduíche).

Passo 2

Definimos r = x^2+y^2. Então, quando (x,y)to(0,0) temos rto0^+ e a expressão fica rf(r). Assim transformamos o problema de duas variáveis em um de uma variável.

Passo 3

Como limrto0^+f(r)=Lneq0, existe de0 tal que, para 0, vale
|f(r)-L|<|L|2|

Passo 4

Logo para 0 temos
|f(r)|>=|L|-|f(r)-L|>|L|2|

Passo 5

Então, para (x,y) com r,
|rf(r)|<=r|L|/2=2r|L||

Passo 6

Como r=x^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0), segue que 2r/|L|to0. Pelo teorema do sanduíche, o limite procurado é zero.

Resposta

0

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