Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve três variáveis: $ x $, $ y $ e $ z $. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com Cálculo de Limites Multivariáveis. Para resolver isso, precisamos entender como a função se comporta quando $ (x, y, z) $ se aproxima de $ (0,0,0) $. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do arco-tangente. Observe que:
É a soma dos quadrados das três variáveis, que representa a distância ao quadrado do ponto $ (x, y, z) $ até a origem $ (0,0,0) $ no espaço tridimensional. Vamos chamar essa soma de $ r^{2} $, ou seja:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece quando $ (x, y, z) $ se aproxima de $ (0,0,0) $. Isso significa que $ r $ está se aproximando de 0:
Se substituirmos isso na nossa expressão $ \frac{1}{r^{2}} $, percebemos que:
Ou seja, à medida que $ r $ fica muito pequeno, $ \frac{1}{r^{2}} $ cresce sem limites, ficando cada vez maior.
Passo 4
Agora, precisamos entender o comportamento da função $ \arctan $ quando seu argumento tende a infinito. Sabemos que:
Isso acontece porque a função arco-tangente se aproxima de $ \frac{\pi}{2} $ à medida que seu argumento cresce sem limites.
Passo 5
Aplicando esse entendimento ao nosso caso, temos:
Portanto, o limite da função quando $ (x, y, z) $ se aproxima de $ (0,0,0) $ é $ \frac{\pi}{2} $.