1. lim (x, y, z) (0,0,0) arctg[1x^2+y^2+z^2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve três variáveis: $ x $, $ y $ e $ z $. O enunciado é:
x
Aqui, estamos lidando com Cálculo de Limites Multivariáveis. Para resolver isso, precisamos entender como a função se comporta quando $ (x, y, z) $ se aproxima de $ (0,0,0) $. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do arco-tangente. Observe que:
x^2 + y^2 + z^2
É a soma dos quadrados das três variáveis, que representa a distância ao quadrado do ponto $ (x, y, z) $ até a origem $ (0,0,0) $ no espaço tridimensional. Vamos chamar essa soma de $ r^{2} $, ou seja:
(x, y, z)
Então, a expressão fica:
(0,0,0)

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece quando $ (x, y, z) $ se aproxima de $ (0,0,0) $. Isso significa que $ r $ está se aproximando de 0:
(x, y, z)
Se substituirmos isso na nossa expressão $ \frac{1}{r^{2}} $, percebemos que:
(0,0,0)
Ou seja, à medida que $ r $ fica muito pequeno, $ \frac{1}{r^{2}} $ cresce sem limites, ficando cada vez maior.

Passo 4

Agora, precisamos entender o comportamento da função $ \arctan $ quando seu argumento tende a infinito. Sabemos que:
arctan
Isso acontece porque a função arco-tangente se aproxima de $ \frac{\pi}{2} $ à medida que seu argumento cresce sem limites.

Passo 5

Aplicando esse entendimento ao nosso caso, temos:
lim (x, y, z) (0,0,0) arctan(1r^2) = limr 0 arctan(1r^2) = pi2
Portanto, o limite da função quando $ (x, y, z) $ se aproxima de $ (0,0,0) $ é $ \frac{\pi}{2} $.

Resposta

pi2

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