1. (a) Mostre que o valor de
x y zx^2+y^4+z^4
tende a 0 quando (x, y, z) (0,0,0) ao longo de qualquer reta x=a t, y=b t, z=c t.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que ao percorrermos qualquer reta definida por x=at, y=bt, z=ct e fazendo tto0, o quociente dfracxyzx^2+y^4+z^4 tende a zero. O conteúdo aqui é limite de função de várias variáveis, e vamos precisar parametrizar a reta e usar propriedades de limites.

Passo 2

Parametrizamos a reta por x=at, y=bt, z=ct, onde a,b,c são constantes quaisquer. Nesse caso, quando tto0, o ponto (x,y,z) tende a (0,0,0).
Substituímos na expressão:
x y zx^2+y^4+z^4 = (at)(bt)(ct)(at)^2 + (bt)^4 + (ct)^4 = abc,t^3a^2t^2 + b^4t^4 + c^4t^4
Fatoramos t^2 no denominador para simplificar o limite:
abc,t^3t^2l(a^2 + (b^4+c^4)t^2r) = abc,ta^2 + (b^4+c^4)t^2

Passo 3

Agora, ao deixarmos tto0, o numerador abc,t tende a zero e o denominador tende a a^2 (que é finito, mesmo se a=0 o valor da fração é zero). Logo, o limite é zero.

Resposta

0

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