Calcular a integral:
integral(raizx-4x)^2 d x

Passo 1

Então, a gente quer calcular a integral de integral(raizx-tfrac4x)^2,dx. Isso é cálculo de integrais, e vamos precisar usar duas coisas principais: primeiro, expandir esse quadrado para simplificar a função e depois aplicar a regra do poder (power rule) em cada termo.

Passo 2

Vamos expandir o quadrado usando a identidade (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. Aqui a=raizx e b=tfrac4x. Então:

Passo 3

(raizx-tfrac4x)^2 = (raizx)^2 - 2cdotraizxcdottfrac4x + l(tfrac4xr)^2

Passo 4

Agora calculamos cada parte: (raizx)^2 = x, e
2cdotraizxcdottfrac4x = 8,x^1/2-1 = 8,x^-1/2 , e
(tfrac4x)^2 = 16,x^-2 .
Então a função vira
x - 8,x^-1/2 + 16,x^-2

Passo 5

Agora vamos integrar termo a termo usando a regra do poder: para integral x^n dx = tfracx^n+1n+1 + C, desde que nneq -1.

Passo 6

  1. integral x,dx = tfracx^22

Passo 7

  1. integral -8,x^-1/2 dx = -8cdottfracx^(-1/2)+1(-1/2)+1 = -8cdottfracx^1/21/2 = -16,x^1/2

Passo 8

  1. integral 16,x^-2 dx = 16cdottfracx^-2+1-2+1 = 16cdottfracx^-1-1 = -16,x^-1

Passo 9

Somando os resultados de cada termo e lembrando da constante de integração +C:

Resposta

tfracx^22 - 16raizx - tfrac16x + C

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