lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} \frac{x y+y z^{2}+x z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{4}}\

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} \frac{xy + y z^{2} + x z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{4}}.
Informações dadas:
  • A função a ser analisada é f(x,y,z)=\dfrac{xy + y z^{2} + x z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{4}}.
  • O ponto de aproximação é (x,y,z)\to(0,0,0).
  • A pergunta é: esse limite existe? Se sim, qual é o valor; se não, mostrar por que não existe.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada de forma didática e intuitiva): em limites de funções de várias variáveis, o limite existe somente se as imagens quando nos aproximamos do ponto pelo qualquer caminho possível tiverem o mesmo valor. Uma maneira prática de testar existência é calcular o limite ao longo de caminhos especiais; se acharmos dois caminhos que dão valores diferentes, o limite não existe. Aqui há um indício: o denominador tem termos de ordem x^{2},y^{2},z^{4}. Para tornar todas as parcelas comparáveis, é natural tentar caminhos em que x e y tenham ordem parecida com z^{2} (porque (z^{2})^{2}=z^{4}). Por isso vou testar um caminho do tipo x\sim z^{2},\;y\sim z^{2}. Se esse caminho der um valor diferente do caminho trivial x=y=0, já teremos prova de que o limite não existe.

Passo 3

Caminho 1: escolha parametrização simples que respeite x e y da ordem de z^{2}. Seja z=t,\;x=t^{2},\;y=t^{2} com t\to0. Substituindo na expressão:
\text{numerador} = xy + y z^{2} + x z^{2} = t^{2}\cdot t^{2} + t^{2}\cdot t^{2} + t^{2}\cdot t^{2} = t^{4} + t^{4} + t^{4} = 3t^{4}.
\text{denominador} = x^{2}+y^{2}+z^{4} = (t^{2})^{2} + (t^{2})^{2} + t^{4} = t^{4} + t^{4} + t^{4} = 3t^{4}.
Para t\neq0 a razão é
\frac{3t^{4}}{3t^{4}} = 1.
Logo, ao longo desse caminho o valor da função tende para 1 quando t\to0.

Passo 4

Caminho 2: escolha um caminho simples que anule x e y, por exemplo x=0,\;y=0,\;z=t com t\to0. Substituindo:
\text{numerador} = 0\cdot0 + 0\cdot t^{2} + 0\cdot t^{2} = 0.
\text{denominador} = 0^{2}+0^{2}+t^{4} = t^{4}.
Para t\neq0 a razão é
\frac{0}{t^{4}} = 0.
Logo, ao longo desse caminho o valor da função tende para 0 quando t\to0.

Passo 5

Conclusão justificada: encontramos dois caminhos de aproximação a (0,0,0) que dão limites diferentes — pelo caminho x=y=z^{2} o limite é 1, e pelo caminho x=y=0 o limite é 0. Como o valor do limite dependeria do caminho escolhido, o limite total não pode existir (um limite em várias variáveis, se existir, deve ter o mesmo valor para todas as maneiras de se aproximar do ponto).

Resposta

O limite não existe.

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