Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A função a ser analisada é
. - O ponto de aproximação é
. - A pergunta é: esse limite existe? Se sim, qual é o valor; se não, mostrar por que não existe.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada de forma didática e intuitiva): em limites de funções de várias variáveis, o limite existe somente se as imagens quando nos aproximamos do ponto pelo qualquer caminho possível tiverem o mesmo valor. Uma maneira prática de testar existência é calcular o limite ao longo de caminhos especiais; se acharmos dois caminhos que dão valores diferentes, o limite não existe. Aqui há um indício: o denominador tem termos de ordem
. Para tornar todas as parcelas comparáveis, é natural tentar caminhos em que
e
tenham ordem parecida com
(porque
). Por isso vou testar um caminho do tipo
. Se esse caminho der um valor diferente do caminho trivial
, já teremos prova de que o limite não existe.
Passo 3
Caminho 1: escolha parametrização simples que respeite
e
da ordem de
. Seja
com
. Substituindo na expressão:
Para
a razão é
Logo, ao longo desse caminho o valor da função tende para
quando
.
Passo 4
Caminho 2: escolha um caminho simples que anule
e
, por exemplo
com
. Substituindo:
Para
a razão é
Logo, ao longo desse caminho o valor da função tende para
quando
.
Passo 5
Conclusão justificada: encontramos dois caminhos de aproximação a
que dão limites diferentes — pelo caminho
o limite é
, e pelo caminho
o limite é
. Como o valor do limite dependeria do caminho escolhido, o limite total não pode existir (um limite em várias variáveis, se existir, deve ter o mesmo valor para todas as maneiras de se aproximar do ponto).
Resposta
O limite não existe.