\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(3 x))}{x}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o limite \lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(3x))}{x}.
  • Pergunta: determinar o valor desse limite quando x tende a 0.
  • Informação útil implícita: quando x\to 0 temos \operatorname{sen}(3x)\to 0, então há formas indeterminadas do tipo \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Lema central que vou usar (explique como funciona):
  • Resultado muito importante e básico: \displaystyle\lim_{t\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(t)}{t}=1.
    O que isso significa: quando o argumento t é muito pequeno, \operatorname{sen}(t) é muito próximo de t, e a razão tende a 1.
  • Intuição curta (sem formalidade completa): para t pequeno, a curva seno tem inclinação 1 em 0, logo \operatorname{sen}(t)\approx t. Esse fato pode ser justificado com o teorema do sanduíche (squeeze) ou com desenvolvimento em série de Taylor.

Passo 3

Estratégia prática para esse problema (passo a passo algebraico):
  • Vou manipular a expressão multiplicando e dividindo por quantidades convenientes para usar o lema acima. Escrevo
\frac{\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(3x))}{x} = \frac{\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(3x))}{\operatorname{sen}(3x)} \cdot \frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x} \cdot 3.
  • Aqui a ideia: separar em três fatores que sejam fáceis de analisar quando x\to 0.

Passo 4

Justificar por que essa fatoração é válida e cada fator é bem definido para x próximo de 0:
  • Para x próximo de 0, \operatorname{sen}(3x) também é próximo de 0, logo \operatorname{sen}(3x)\neq 0 para x suficientemente pequeno (exceto exatamente em 0, mas estamos tratando limite), então as razões usadas fazem sentido ao aproximar.
  • Assim podemos tratar o limite do produto como produto dos limites (regra do produto de limites, quando cada limite existe finito).

Passo 5

Calcular o limite de cada fator separadamente:
  1. Primeiro fator:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(3x))}{\operatorname{sen}(3x)}.
Faço a substituição t=\operatorname{sen}(3x). Quando x\to 0 temos t\to 0. Pelo lema do Passo 2,
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}(t)}{t}=1,
portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(3x))}{\operatorname{sen}(3x)}=1.
  1. Segundo fator:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}.
Aqui aplicamos diretamente o lema com t=3x. Como 3x\to 0 quando x\to 0,
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}=1.
  1. Terceiro fator: é a constante 3, logo
\lim_{x\to 0}3=3.

Passo 6

Multiplicar os limites (regra do produto):
  • Como os três limites são finitos, o limite do produto é o produto dos limites. Assim
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(3x))}{x} = 1\cdot 1\cdot 3=3.

Passo 7

Verificação alternativa (opcional, método de L’Hôpital) — útil para checar:
  • A forma original quando x\to0 é \tfrac{0}{0}, então podemos aplicar L’Hôpital (derivar numerador e denominador) se as derivadas existirem.
  • Derivada do numerador: usando regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(3x)) = \cos(\operatorname{sen}(3x))\cdot\cos(3x)\cdot 3.
  • Derivada do denominador \dfrac{d}{dx}x=1. Logo pelo teorema de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(3x))}{x} = \lim_{x\to 0}\big(3\cos(\operatorname{sen}(3x))\cos(3x)\big).
  • Avaliando em x=0: \cos(\operatorname{sen}(0))=\cos(0)=1 e \cos(3\cdot 0)=1, então o limite é 3\cdot 1\cdot 1=3. Confirma o resultado anterior.

Passo 8

Exemplos rápidos para fixar a ideia (úteis na hora da prova):
  • \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(5x)}{x}=5, porque \dfrac{\operatorname{sen}(5x)}{x}=\dfrac{\operatorname{sen}(5x)}{5x}\cdot 5\to 1\cdot 5.
  • \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x))}{x}=1, pois \dfrac{\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x))}{x}=\dfrac{\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x))}{\operatorname{sen}(x)}\cdot\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}\to 1\cdot 1.

Passo 9

Dica de prova/exame e motivação final:
  • Não faça aproximações numéricas precipitadas; prefira manipular analyticamen­te com a identidade \lim_{t\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(t)}{t}=1.
  • Se sentir confortável com derivadas, L’Hôpital é uma verificação rápida.
  • Respire fundo: esse tipo de limite é padrão e aparece muito em provas — com prática vira automático!

Resposta

3

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