Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o limite
. - Pergunta: determinar o valor desse limite quando
tende a . - Informação útil implícita: quando
temos , então há formas indeterminadas do tipo .
Passo 2
Lema central que vou usar (explique como funciona):
- Resultado muito importante e básico:
.
O que isso significa: quando o argumentoé muito pequeno, é muito próximo de , e a razão tende a . - Intuição curta (sem formalidade completa): para
pequeno, a curva seno tem inclinação em , logo . Esse fato pode ser justificado com o teorema do sanduíche (squeeze) ou com desenvolvimento em série de Taylor.
Passo 3
Estratégia prática para esse problema (passo a passo algebraico):
- Vou manipular a expressão multiplicando e dividindo por quantidades convenientes para usar o lema acima. Escrevo
- Aqui a ideia: separar em três fatores que sejam fáceis de analisar quando
.
Passo 4
Justificar por que essa fatoração é válida e cada fator é bem definido para
próximo de
:
- Para
próximo de , também é próximo de , logo para suficientemente pequeno (exceto exatamente em , mas estamos tratando limite), então as razões usadas fazem sentido ao aproximar. - Assim podemos tratar o limite do produto como produto dos limites (regra do produto de limites, quando cada limite existe finito).
Passo 5
Calcular o limite de cada fator separadamente:
- Primeiro fator:
Faço a substituição
. Quando
temos
. Pelo lema do Passo 2,
portanto
- Segundo fator:
Aqui aplicamos diretamente o lema com
. Como
quando
,
- Terceiro fator: é a constante
, logo
Passo 6
Multiplicar os limites (regra do produto):
- Como os três limites são finitos, o limite do produto é o produto dos limites. Assim
Passo 7
Verificação alternativa (opcional, método de L’Hôpital) — útil para checar:
- A forma original quando
é , então podemos aplicar L’Hôpital (derivar numerador e denominador) se as derivadas existirem. - Derivada do numerador: usando regra da cadeia,
- Derivada do denominador
. Logo pelo teorema de L’Hôpital,
- Avaliando em
: e , então o limite é . Confirma o resultado anterior.
Passo 8
Exemplos rápidos para fixar a ideia (úteis na hora da prova):
-
, porque . -
, pois .
Passo 9
Dica de prova/exame e motivação final:
- Não faça aproximações numéricas precipitadas; prefira manipular analyticamente com a identidade
. - Se sentir confortável com derivadas, L’Hôpital é uma verificação rápida.
- Respire fundo: esse tipo de limite é padrão e aparece muito em provas — com prática vira automático!