\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(99 x)}{\operatorname{sen}(101 x)}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor do limite
\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{sen}(99x)}{\operatorname{sen}(101x)}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • As funções envolvidas são senos com argumentos 99x e 101x.
  • Quando x\to 0 temos \operatorname{sen}(99x)\to 0 e \operatorname{sen}(101x)\to 0, portanto a expressão tem a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.
  • Os números 99 e 101 são constantes multiplicando x.

Passo 2

Fato-chave que vamos usar (e que vou provar rapidamente): para qualquer variável real t
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}(t)}{t}=1.
Prova (intuição geométrica + desigualdades clássicas): para 0<t<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica conhecida
\operatorname{sen}(t) < t < \tan(t).
Dividindo tudo por \operatorname{sen}(t) (positivo nesse intervalo) obtém-se
1 < \frac{t}{\operatorname{sen}(t)} < \frac{1}{\cos(t)}.
Invertendo os termos (tudo positivo) resulta
\cos(t) < \frac{\operatorname{sen}(t)}{t} < 1.
Como \lim_{t\to 0}\cos(t)=1, pelo teorema do confronto (squeeze) segue
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}(t)}{t}=1.
Para t negativos usa-se que \operatorname{sen} é função ímpar e o mesmo limite vale. Pronto: já temos o resultado fundamental e rigoroso que vamos aplicar.

Passo 3

Agora manipular a expressão do limite para usar o limite anterior. Escrevemos
\frac{\operatorname{sen}(99x)}{\operatorname{sen}(101x)} = \frac{\operatorname{sen}(99x)}{99x}\cdot\frac{99x}{101x}\cdot\frac{101x}{\operatorname{sen}(101x)}.
Esta fatoração é apenas multiplicar e dividir por 99x e por 101x; cada fator é mais simples de analisar.

Passo 4

Tomamos limite em cada fator separadamente quando x\to 0.
  • Pelo resultado do Passo 2, \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(99x)}{99x}=1 (substituindo t=99x, que também tende a 0).
  • O fator do meio é \displaystyle\frac{99x}{101x}=\frac{99}{101} para todo x\neq 0, portanto seu limite ao ir a 0 é \dfrac{99}{101}.
  • Pelo Passo 2 novamente, \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{101x}{\operatorname{sen}(101x)}=1 (ou seja, \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(101x)}{101x}=1, invertendo dá 1).
Como o limite do produto é o produto dos limites (quando todos existem e são finitos), obtemos que o limite original tende ao produto
1\cdot\frac{99}{101}\cdot 1=\frac{99}{101}.

Passo 5

Comentário extra (método alternativo rápido): poderia também aplicar a regra de l’Hôpital porque a expressão tem forma \tfrac{0}{0}. Derivando numerador e denominador obtemos \tfrac{99\cos(99x)}{101\cos(101x)} e, avaliando em x\to 0, surge \tfrac{99\cdot 1}{101\cdot 1}=\tfrac{99}{101}. Esse método é mais direto, mas exige conhecimento de derivadas; a fatoração com \tfrac{\operatorname{sen}(t)}{t} é mais elemental e frequentemente exigida em provas.

Resposta

\dfrac{99}{101}

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