Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o valor do limite
Informações dadas e observações imediatas:
- As funções envolvidas são senos com argumentos
e . - Quando
temos e , portanto a expressão tem a forma indeterminada . - Os números
e são constantes multiplicando .
Passo 2
Fato-chave que vamos usar (e que vou provar rapidamente): para qualquer variável real
Prova (intuição geométrica + desigualdades clássicas): para
vale a desigualdade geométrica conhecida
Dividindo tudo por
(positivo nesse intervalo) obtém-se
Invertendo os termos (tudo positivo) resulta
Como
, pelo teorema do confronto (squeeze) segue
Para
negativos usa-se que
é função ímpar e o mesmo limite vale. Pronto: já temos o resultado fundamental e rigoroso que vamos aplicar.
Passo 3
Agora manipular a expressão do limite para usar o limite anterior. Escrevemos
Esta fatoração é apenas multiplicar e dividir por
e por
; cada fator é mais simples de analisar.
Passo 4
Tomamos limite em cada fator separadamente quando
.
- Pelo resultado do Passo 2,
(substituindo , que também tende a ). - O fator do meio é
para todo , portanto seu limite ao ir a é . - Pelo Passo 2 novamente,
(ou seja, , invertendo dá 1).
Como o limite do produto é o produto dos limites (quando todos existem e são finitos), obtemos que o limite original tende ao produto
Passo 5
Comentário extra (método alternativo rápido): poderia também aplicar a regra de l’Hôpital porque a expressão tem forma
. Derivando numerador e denominador obtemos
e, avaliando em
, surge
. Esse método é mais direto, mas exige conhecimento de derivadas; a fatoração com
é mais elemental e frequentemente exigida em provas.