Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações relevantes dadas:
- A função é
, definida para . - Queremos saber se o limite existe quando
tende ao ponto e, caso exista, qual é o seu valor. - Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Primeiro, uma pequena aula sobre limites em várias variáveis (de um jeito leve): para existir
é necessário que, quaisquer que sejam as maneiras de aproximarmos
de
(por retas, curvas, parábolas, etc.), o valor de
tenda sempre ao mesmo número
. Uma forma prática de testar se o limite não existe é encontrar duas trajetórias de aproximação que deem resultados diferentes: se acharmos duas trajetórias com limites distintos, concluímos que o limite total não existe.
Uma escolha simples e muito usada é aproximar por retas passando pela origem, isto é, tomar
com
constante. Vamos aplicar isso.
Passo 3
Substituímos a reta
na expressão. Ao aproximar por essa reta temos:
Agora simplificamos passo a passo. No numerador
. No denominador
. Portanto a expressão fica:
Como
aparece em numerador e denominador (e para
podemos simplificar), obtemos
Passo 4
Agora fazemos
. Como
é contínua e
, tem-se
. Logo o limite ao longo da reta
é
Repare que esse valor depende do parâmetro
da reta escolhida.
Passo 5
Como o valor do limite ao longo de retas
depende de
, diferentes retas podem dar limites distintos. Basta dar exemplos concretos para demonstrar a contradição:
- Para
(ou seja, aproximando pela reta ) obtemos
- Para
(aproximando pela reta ) obtemos
Como
, existem duas formas de chegar em
que produzem limites diferentes. Pelo argumento do passo 2, isso mostra que o limite total não existe.
Resposta
O limite não existe.