lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y \cos y}{3 x^{2}+y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x y \cos y}{3 x^{2}+y^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{x y \cos y}{3 x^{2}+y^{2}}, definida para (x,y)\neq(0,0).
  • Queremos saber se o limite existe quando (x,y) tende ao ponto (0,0) e, caso exista, qual é o seu valor.
  • Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Primeiro, uma pequena aula sobre limites em várias variáveis (de um jeito leve): para existir
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L,
é necessário que, quaisquer que sejam as maneiras de aproximarmos (x,y) de (0,0) (por retas, curvas, parábolas, etc.), o valor de f(x,y) tenda sempre ao mesmo número L. Uma forma prática de testar se o limite não existe é encontrar duas trajetórias de aproximação que deem resultados diferentes: se acharmos duas trajetórias com limites distintos, concluímos que o limite total não existe.
Uma escolha simples e muito usada é aproximar por retas passando pela origem, isto é, tomar y=kx com k constante. Vamos aplicar isso.

Passo 3

Substituímos a reta y=kx na expressão. Ao aproximar por essa reta temos:
\frac{x\cdot (kx)\cdot \cos(kx)}{3x^{2}+(kx)^{2}}.
Agora simplificamos passo a passo. No numerador x\cdot (kx)=k x^{2}. No denominador 3x^{2}+(kx)^{2}=3x^{2}+k^{2}x^{2}=x^{2}(3+k^{2}). Portanto a expressão fica:
\frac{k x^{2}\cos(kx)}{x^{2}(3+k^{2})}.
Como x^{2} aparece em numerador e denominador (e para x\neq0 podemos simplificar), obtemos
\frac{k\cos(kx)}{3+k^{2}}.

Passo 4

Agora fazemos x\to0. Como \cos(kx) é contínua e \cos(0)=1, tem-se \cos(kx)\to1. Logo o limite ao longo da reta y=kx é
\lim_{x\to0}\frac{k\cos(kx)}{3+k^{2}}=\frac{k}{3+k^{2}}.
Repare que esse valor depende do parâmetro k da reta escolhida.

Passo 5

Como o valor do limite ao longo de retas y=kx depende de k, diferentes retas podem dar limites distintos. Basta dar exemplos concretos para demonstrar a contradição:
  • Para k=0 (ou seja, aproximando pela reta y=0) obtemos
\frac{0}{3+0^{2}}=0.
  • Para k=1 (aproximando pela reta y=x) obtemos
\frac{1}{3+1^{2}}=\frac{1}{4}.
Como 0\neq \tfrac{1}{4}, existem duas formas de chegar em (0,0) que produzem limites diferentes. Pelo argumento do passo 2, isso mostra que o limite total não existe.

Resposta

O limite não existe.

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