Ache a derivada da função dada.
f(x)=\left|x^{2}-4\right|

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\lvert x^{2}-4\rvert\). Aqui a ideia é usar a definição de valor absoluto, que diz \[|u| = \begin{cases} u, & u\ge 0,\\\\ -u, & u<0, \end{cases}
aplicada a (u=x^{2}-4], e depois derivar cada parte com a regra da potência.

Passo 2

Precisamos saber onde x^{2}-4 é não-negativo ou negativo. Resolvendo
x^{2}-4 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-2)(x+2)\ge0 \quad\Longrightarrow\quad x\le -2\quad\text{ou}\quad x\ge2.
Logo:
x^{2}-4\ge0\quad\text{se}\quad x\in(-\infty,-2]\cup[2,\infty),
x^{2}-4<0\quad\text{se}\quad x\in(-2,2).

Passo 3

Escrevendo f\) em forma de pedaços: \[f(x)= \begin{cases} x^{2}-4, & x\le -2\text{ ou }x\ge2,\\[6pt] 4 - x^{2}, & -2 < x < 2. \end{cases}
Agora derivamos em cada região usando \frac{d}{dx}x^{2}=2x\]: - Se \(x< -2 ou x>2, então f(x)=x^{2}-4 e
f'(x)=2x.
  • Se -2<x<2, então f(x)=4 - x^{2} e
f'(x)=-2x.]

Passo 4

Em x=2 e x=-2 checamos as derivadas laterais:
  • Em x=2: vindo da esquerda, f'(2^-)= -2\cdot2=-4; vindo da direita, f'(2^+)=2\cdot2=4.
  • Em x=-2: vindo da esquerda, f'(-2^-)=2\cdot(-2)=-4; vindo da direita, f'(-2^+)= -2\cdot(-2)=4.
    Como as derivadas laterais não coincidem, não há derivada em x=\pm2.

Resposta

f'(x)= \begin{cases} 2x, & |x|>2,\\[4pt] -2x, & |x|<2, \end{cases}
e f' não existe em x=2 nem em x=-2.]

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