Ache a derivada da função dada. f(x)=\left|x^{2}-4\right|
Passo 1
O enunciado pede a derivada de f(x)=\lvert x^{2}-4\rvert\). Aqui a ideia é usar a definição de valor absoluto, que diz
\[|u| = \begin{cases} u, & u\ge 0,\\\\ -u, & u<0, \end{cases}
aplicada a (u=x^{2}-4], e depois derivar cada parte com a regra da potência.
Passo 2
Precisamos saber onde x^{2}-4 é não-negativo ou negativo. Resolvendo
Escrevendo f\) em forma de pedaços:
\[f(x)= \begin{cases} x^{2}-4, & x\le -2\text{ ou }x\ge2,\\[6pt] 4 - x^{2}, & -2 < x < 2. \end{cases}
Agora derivamos em cada região usando \frac{d}{dx}x^{2}=2x\]:
- Se \(x< -2 ou x>2, então f(x)=x^{2}-4 e
f'(x)=2x.
Se -2<x<2, então f(x)=4 - x^{2} e
f'(x)=-2x.]
Passo 4
Em x=2 e x=-2 checamos as derivadas laterais:
Em x=2: vindo da esquerda, f'(2^-)= -2\cdot2=-4; vindo da direita, f'(2^+)=2\cdot2=4.
Em x=-2: vindo da esquerda, f'(-2^-)=2\cdot(-2)=-4; vindo da direita, f'(-2^+)= -2\cdot(-2)=4.
Como as derivadas laterais não coincidem, não há derivada em x=\pm2.