\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{100}-x^{99}}{20 x-3 x^{100}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{x^{100}-x^{99}}{20x-3x^{100}}.
Este problema envolve limites de funções racionais de polinômios. Vamos usar o fato de que, para x\to\infty, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau.

Passo 2

Fatoramos x^{100} no numerador e no denominador para expor os termos dominantes:
\frac{x^{100}-x^{99}}{20x-3x^{100}} = \frac{x^{100}\bigl(1-\frac{1}{x}\bigr)}{x^{100}\bigl(\frac{20x}{x^{100}}-3\bigr)} = \frac{1-\frac{1}{x}}{\frac{20}{x^{99}}-3}.

Passo 3

Agora, ao fazermos x\to\infty, temos \frac{1}{x}\to0 e \frac{20}{x^{99}}\to0.
Portanto o limite fica
\frac{1-0}{0-3} = -\frac{1}{3}.

Resposta

-\frac{1}{3}

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