\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{\ln x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{x}}{\ln x}.
Este problema envolve limites em que o numerador tende a zero e o denominador tende a menos infinito. Vamos usar análise de ordens de grandeza e uma substituição para entender o comportamento assintótico.

Passo 2

Quando x\to0^+ temos \sqrt{x}\to0 e \ln x\to -\infty, de modo que a expressão é do tipo 0/(-\infty), o que sugere limite zero. Para ver isso de forma mais rigorosa, façamos a mudança de variável
x = e^{-t},\quad t = -\ln x\to+\infty.
Então
\frac{\sqrt{x}}{\ln x} = \frac{e^{-t/2}}{-t} = -\frac{e^{-t/2}}{t}.
Como e^{-t/2} decai exponencialmente muito mais rápido que t cresce, o quociente \frac{e^{-t/2}}{t} tende a zero quando t\to+\infty. Portanto o limite original é zero.

Resposta

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