\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2-x-3 x^{2}}{x^{3}-16}.

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a -\infty da função racional
\frac{2 - x - 3x^{2}}{x^{3} - 16}.
Informações dadas:
  • Numerador: 2 - x - 3x^{2}.
  • Denominador: x^{3} - 16.
  • A variável x vai para -\infty.
    A pergunta é: qual é o valor de \lim_{x\to -\infty} \dfrac{2 - x - 3x^{2}}{x^{3} - 16}?

Passo 2

Estratégia clara (sem cálculo pesado): para limites de funções racionais quando x\to\pm\infty costuma-se comparar os graus do polinômio do numerador e do denominador. Regras úteis (lembrete):
  • Se o grau do numerador é menor que o grau do denominador, o limite é 0.
  • Se os dois graus são iguais, o limite é a razão dos coeficientes líderes.
  • Se o grau do numerador é maior, o limite é \pm\infty dependendo do sinal do termo líder.
    Aqui o grau do numerador é 2 (termo líder -3x^2) e o grau do denominador é 3 (termo líder x^3). Como 2<3, pela regra já se espera que o limite seja 0. Vou mostrar isso de forma algébrica e rigorosa.

Passo 3

Dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente (aqui x^{3}) é uma forma sistemática. Faço essa divisão para ver claramente o comportamento dos termos quando x\to -\infty:
\frac{2 - x - 3x^{2}}{x^{3} - 16} = \frac{\dfrac{2}{x^{3}} - \dfrac{x}{x^{3}} - \dfrac{3x^{2}}{x^{3}}}{\dfrac{x^{3}}{x^{3}} - \dfrac{16}{x^{3}}} = \frac{\dfrac{2}{x^{3}} - \dfrac{1}{x^{2}} - \dfrac{3}{x}}{1 - \dfrac{16}{x^{3}}}.

Passo 4

Agora analiso o limite termo a termo quando x\to -\infty. Sabendo que para x\to\pm\infty vale \dfrac{1}{x}\to 0, temos:
  • \dfrac{2}{x^{3}}\to 0,
  • \dfrac{1}{x^{2}}\to 0,
  • \dfrac{3}{x}\to 0,
  • \dfrac{16}{x^{3}}\to 0.
    Portanto o numerador da fração reduzida tende a 0 - 0 - 0 = 0 e o denominador tende a 1 - 0 = 1.

Passo 5

Com isso, o limite da razão é o limite do numerador dividido pelo limite do denominador (denominador tendendo a 1, não a zero), logo o valor do limite é
\frac{0}{1}=0.

Passo 6

Comentário didático extra (para fixar): outra forma de ver é por dominância de potências. Para |x| grande, |2-x-3x^{2}| cresce no máximo como C|x|^{2} para algum C>0, enquanto |x^{3}-16| cresce como |x|^{3}. Assim a razão tem ordem \dfrac{|x|^{2}}{|x|^{3}}=\dfrac{1}{|x|}\to 0. Exemplo parecido: \lim_{x\to\infty}\dfrac{x^{2}+1}{x^{3}}=0.

Resposta

0

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