.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a
da função racional
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - A variável
vai para .
A pergunta é: qual é o valor de?
Passo 2
Estratégia clara (sem cálculo pesado): para limites de funções racionais quando
costuma-se comparar os graus do polinômio do numerador e do denominador. Regras úteis (lembrete):
- Se o grau do numerador é menor que o grau do denominador, o limite é
. - Se os dois graus são iguais, o limite é a razão dos coeficientes líderes.
- Se o grau do numerador é maior, o limite é
dependendo do sinal do termo líder.
Aqui o grau do numerador é(termo líder ) e o grau do denominador é (termo líder ). Como , pela regra já se espera que o limite seja . Vou mostrar isso de forma algébrica e rigorosa.
Passo 3
Dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente (aqui
) é uma forma sistemática. Faço essa divisão para ver claramente o comportamento dos termos quando
:
Passo 4
Agora analiso o limite termo a termo quando
. Sabendo que para
vale
, temos:
-
, -
, -
, -
.
Portanto o numerador da fração reduzida tende ae o denominador tende a .
Passo 5
Com isso, o limite da razão é o limite do numerador dividido pelo limite do denominador (denominador tendendo a
, não a zero), logo o valor do limite é
Passo 6
Comentário didático extra (para fixar): outra forma de ver é por dominância de potências. Para
grande,
cresce no máximo como
para algum
, enquanto
cresce como
. Assim a razão tem ordem
. Exemplo parecido:
.
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