1. \lim _{u \rightarrow-\infty} \frac{\left(u^{2}+1\right)\left(2 u^{2}-1\right)}{\left(u^{2}+2\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{u\to -\infty}\frac{(u^{2}+1)\,(2u^{2}-1)}{(u^{2}+2)^{2}}.
O conteúdo aqui é limites de funções racionais no infinito: quando o numerador e o denominador são polinômios, basta comparar os termos de maior grau.

Passo 2

Para evidenciar os termos dominantes, dividimos numerador e denominador por u^{4}, que é o maior grau comum:
\frac{(u^{2}+1)(2u^{2}-1)}{(u^{2}+2)^{2}} = \frac{\bigl(u^{2}(1+u^{-2})\bigr)\,\bigl(u^{2}(2 - u^{-4})\bigr)}{\bigl(u^{2}(1 + 2u^{-2})\bigr)^{2}} = \frac{(1+u^{-2})(2 - u^{-4})}{(1 + 2u^{-2})^{2}}.

Passo 3

À medida que u\to -\infty, temos u^{-2}\to 0 e u^{-4}\to 0. Então
(1+u^{-2})\to 1, \quad (2 - u^{-4})\to 2, \quad (1 + 2u^{-2})^{2}\to 1^{2}=1,
e a fração tende a
\frac{1\cdot 2}{1}=2.

Resposta

2

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