1. \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{t+3}{\sqrt{2 t^{2}-1}}
  2. \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x+3 x^{2}}}{4 x-1}

Passo 1

O enunciado pede dois limites no infinito envolvendo raízes e polinômios. O conteúdo aqui é manipular expressões do tipo “termo de maior grau” e usar fatoração para simplificar. Vamos, em cada caso, fatorar o maior grau de t ou de x dentro da raiz e fora dela.

Passo 2

Cálculo de \displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{t+3}{\sqrt{2t^2-1}}.
Dentro da raiz, fatoramos t^2; fora, extraímos \lvert t\rvert. Para t\to\infty, \lvert t\rvert=t.
\frac{t+3}{\sqrt{2t^2-1}} =\frac{t\bigl(1+\tfrac{3}{t}\bigr)}{\sqrt{t^2\bigl(2-\tfrac{1}{t^2}\bigr)}} =\frac{t\bigl(1+\tfrac{3}{t}\bigr)}{t\sqrt{2-\tfrac{1}{t^2}}} =\frac{1+\tfrac{3}{t}}{\sqrt{2-\tfrac{1}{t^2}}}.
Ao fazer t\to\infty, os termos \tfrac{3}{t} e \tfrac{1}{t^2} vão a zero, ficando
\lim_{t\to\infty}\frac{1+\tfrac{3}{t}}{\sqrt{2-\tfrac{1}{t^2}}} =\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+3x^2}}{4x-1}.
Dentro da raiz, fatoramos x^2; fora, extraímos x (para x\to\infty, x>0).
\frac{\sqrt{x+3x^2}}{4x-1} =\frac{\sqrt{x^2\bigl(3+\tfrac{1}{x}\bigr)}}{x\bigl(4-\tfrac{1}{x}\bigr)} =\frac{x\sqrt{3+\tfrac{1}{x}}}{x\bigl(4-\tfrac{1}{x}\bigr)} =\frac{\sqrt{3+\tfrac{1}{x}}}{4-\tfrac{1}{x}}.
Ao fazer x\to\infty, \tfrac{1}{x}\to0, logo
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{3+\tfrac{1}{x}}}{4-\tfrac{1}{x}} =\frac{\sqrt{3}}{4}.

Resposta

  1. \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}
  2. \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}

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