8.
é ímpar
8.
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado nos dá (sem resolver ainda) — peguei tudo do texto que você enviou.
Dados do primeiro trecho:
-
. -
.
Dados do item 8:
-
. -
. -
. - A função
é ímpar (isto é, sempre que ambos os lados fizerem sentido).
O que vou determinar (as perguntas implícitas que faz sentido responder com esses dados):
- Interpretação dos limites perto de
(primeiro trecho): existe assíntota vertical em ? como é o comportamento dos lados? - Usando que
é ímpar (item 8), deduzir limites e assíntotas simétricas: e os limites laterais em (isto é, e ), além de identificar assíntotas horizontais e verticais que se seguem.
Passo 2
Entendendo o que significa cada limite e o que podemos concluir sem fazer contas complexas.
Explicação didática simples das notações:
-
significa que, ao aproximarmos de pela direita ( e ), os valores de crescem sem limite positivo. -
significa que, ao aproximarmos de pela esquerda ( e ), decresce sem limite (tende a ). - Quando um ponto
tem pelo menos um dos limites laterais igual a , dizemos que há assíntota vertical na reta . Se os dois lados vão a ou ambos a , é “do mesmo sinal”; se um vai a e o outro a , a função muda de sinal ao atravessar a assíntota.
Aplicando isso ao primeiro trecho:
- Como
e , concluímos que existe uma assíntota vertical em , com comportamento assimétrico: à direita , à esquerda . É um tipo comum de assíntota vertical onde a função passa de valores negativos para positivos ao cruzar o eixo vertical (se a função estiver definida em pontos próximos).
Passo 3
Agora vamos explorar as consequências do enunciado do item 8 usando a propriedade de ímpar:
.
Primeira propriedade útil (que vou provar com um raciocínio curto):
- Se
é ímpar e existe (finite), então .
Demonstração intuitiva pelo método de mudança de variável: parasubstitui-se . Então e . Tomando limites, . Isso funciona também para limites no infinito: se então, trocando por , obtém-se .
Vou aplicar essas ideias às informações do item 8.
Passo 4
Usando a propriedade ímpar para o limite no infinito.
Dado
. Pela propriedade acima, trocando
por
(isto é, usando
) obtemos
Explicação intuitiva: se para valores muito grandes de
a função se aproxima de
, para valores muito negativos (simétricos) ela se aproxima de
.
Isso nos dá assíntotas horizontais:
quando
e
quando
.
Passo 5
Usando a propriedade ímpar para os limites laterais em
e deduzindo os limites em
.
Temos:
-
. -
.
Queremos
e
.
Procedimento didático (mudança de variável):
- Para
: escreva . Se (isto é, aproximando-se de pela esquerda, por exemplo por ), então (porque muda o lado). Como , segue que
Mas
(dado), então
- Para
: agora com implica . Então
Como
(dado), obtemos
Resumo do raciocínio: os sinais dos infinitos se invertem quando espelhamos em relação à origem por causa do sinal negativo que aparece em
.
Passo 6
Interpretação em termos de assíntotas verticais e comportamento da função.
-
Em
temos na hipótese e . Logo existe assíntota vertical em com sinais opostos dos lados. -
Pelo que acabamos de deduzir, em
também existe assíntota vertical, com -
, -
.
Ou seja, ambose são assíntotas verticais, e os comportamentos laterais são os que calculamos no Passo 5.
-
-
Em relação às assíntotas horizontais: já vimos que
e, pela ímpar, . Portanto assíntotas horizontais em (direita) e (esquerda).
Passo 7
Observação adicional sobre
e função ímpar (ligando as duas partes, só se fizer sentido).
Propriedade de função ímpar: se
é ímpar e
for definida em
, então
, daí
. Porém, isto requer que
seja finita em
. No primeiro trecho você nos deu limites laterais em
que vão a
; isso indica que não há valor finito em
(assíntota vertical), logo a propriedade
não se aplica porque
não existe finitamente. Em suma:
- Do primeiro trecho concluímos que há assíntota vertical em
e a função não tem valor finito em . - Se, em algum outro problema,
fosse ímpar e finita em , então forçosamente .
Resposta
Para o primeiro trecho:
(assíntota vertical em
; direita
, esquerda
).
Para o item 8 (usando que
é ímpar):
\newline
\newline
\newline
Assíntotas verticais: e
.\newline
Assíntotas horizontais: (quando
) e
(quando
).
Assíntotas verticais:
Assíntotas horizontais: