\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\infty, \quad \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=-\infty
8. \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=3, \quad \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=\infty, \quad \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=-\infty, \quad f é ímpar

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado nos dá (sem resolver ainda) — peguei tudo do texto que você enviou.
Dados do primeiro trecho:
  • \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=\infty.
  • \displaystyle \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=-\infty.
Dados do item 8:
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=3.
  • \displaystyle \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=\infty.
  • \displaystyle \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=-\infty.
  • A função f é ímpar (isto é, f(-x)=-f(x) sempre que ambos os lados fizerem sentido).
O que vou determinar (as perguntas implícitas que faz sentido responder com esses dados):
  • Interpretação dos limites perto de 0 (primeiro trecho): existe assíntota vertical em x=0? como é o comportamento dos lados?
  • Usando que f é ímpar (item 8), deduzir limites e assíntotas simétricas: \displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x) e os limites laterais em x=-2 (isto é, \lim_{x\to -2^-} f(x) e \lim_{x\to -2^+} f(x)), além de identificar assíntotas horizontais e verticais que se seguem.

Passo 2

Entendendo o que significa cada limite e o que podemos concluir sem fazer contas complexas.
Explicação didática simples das notações:
  • \displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x)=\infty significa que, ao aproximarmos x de a pela direita ( x>a e x\to a), os valores de f(x) crescem sem limite positivo.
  • \displaystyle \lim_{x\to a^-} f(x)=-\infty significa que, ao aproximarmos x de a pela esquerda ( x<a e x\to a), f(x) decresce sem limite (tende a -\infty).
  • Quando um ponto a tem pelo menos um dos limites laterais igual a \pm\infty, dizemos que há assíntota vertical na reta x=a. Se os dois lados vão a \infty ou ambos a -\infty, é “do mesmo sinal”; se um vai a +\infty e o outro a -\infty, a função muda de sinal ao atravessar a assíntota.
Aplicando isso ao primeiro trecho:
  • Como \displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=\infty e \displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x)=-\infty, concluímos que existe uma assíntota vertical em x=0, com comportamento assimétrico: à direita f\to+\infty, à esquerda f\to-\infty. É um tipo comum de assíntota vertical onde a função passa de valores negativos para positivos ao cruzar o eixo vertical (se a função estiver definida em pontos próximos).

Passo 3

Agora vamos explorar as consequências do enunciado do item 8 usando a propriedade de ímpar: f(-x)=-f(x).
Primeira propriedade útil (que vou provar com um raciocínio curto):
  • Se f é ímpar e \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L existe (finite), então \displaystyle \lim_{x\to -a} f(x)=-L.
    Demonstração intuitiva pelo método de mudança de variável: para x\to -a substitui-se y=-x. Então y\to a e f(x)=f(-y)=-f(y). Tomando limites, \lim_{x\to -a} f(x) = -\lim_{y\to a} f(y) = -L. Isso funciona também para limites no infinito: se \lim_{x\to\infty} f(x)=L então, trocando x por -x, obtém-se \lim_{x\to -\infty} f(x)=-L.
Vou aplicar essas ideias às informações do item 8.

Passo 4

Usando a propriedade ímpar para o limite no infinito.
Dado \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=3. Pela propriedade acima, trocando x por -x (isto é, usando f(-x)=-f(x)) obtemos
\lim_{x\to -\infty} f(x) = -\lim_{x\to\infty} f(x) = -3.
Explicação intuitiva: se para valores muito grandes de x a função se aproxima de 3, para valores muito negativos (simétricos) ela se aproxima de -3.
Isso nos dá assíntotas horizontais: y=3 quando x\to\infty e y=-3 quando x\to -\infty.

Passo 5

Usando a propriedade ímpar para os limites laterais em x=2 e deduzindo os limites em x=-2.
Temos:
  • \displaystyle \lim_{x\to 2^-} f(x)=\infty.
  • \displaystyle \lim_{x\to 2^+} f(x)=-\infty.
Queremos \displaystyle \lim_{x\to -2^-} f(x) e \displaystyle \lim_{x\to -2^+} f(x).
Procedimento didático (mudança de variável):
  • Para x\to -2^-: escreva x=-y. Se x\to -2^- (isto é, aproximando-se de -2 pela esquerda, por exemplo por -2{,}1), então y\to 2^+ (porque y=-x muda o lado). Como f(x)=f(-y)=-f(y), segue que
\lim_{x\to -2^-} f(x) = -\lim_{y\to 2^+} f(y).
Mas \lim_{y\to 2^+} f(y) = -\infty (dado), então
\lim_{x\to -2^-} f(x) = -(-\infty) = +\infty.
  • Para x\to -2^+: agora x=-y com x\to -2^+ implica y\to 2^-. Então
\lim_{x\to -2^+} f(x) = -\lim_{y\to 2^-} f(y).
Como \lim_{y\to 2^-} f(y)=\infty (dado), obtemos
\lim_{x\to -2^+} f(x) = -\infty.
Resumo do raciocínio: os sinais dos infinitos se invertem quando espelhamos em relação à origem por causa do sinal negativo que aparece em f(-x)=-f(x).

Passo 6

Interpretação em termos de assíntotas verticais e comportamento da função.
  • Em x=2 temos na hipótese \lim_{x\to 2^-} f(x)=\infty e \lim_{x\to 2^+} f(x)=-\infty. Logo existe assíntota vertical em x=2 com sinais opostos dos lados.
  • Pelo que acabamos de deduzir, em x=-2 também existe assíntota vertical, com
    • \displaystyle \lim_{x\to -2^-} f(x)=\infty,
    • \displaystyle \lim_{x\to -2^+} f(x)=-\infty.
      Ou seja, ambos x=2 e x=-2 são assíntotas verticais, e os comportamentos laterais são os que calculamos no Passo 5.
  • Em relação às assíntotas horizontais: já vimos que \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=3 e, pela ímpar, \displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)=-3. Portanto assíntotas horizontais em y=3 (direita) e y=-3 (esquerda).

Passo 7

Observação adicional sobre x=0 e função ímpar (ligando as duas partes, só se fizer sentido).
Propriedade de função ímpar: se f é ímpar e f for definida em 0, então f(0)=-f(0), daí f(0)=0. Porém, isto requer que f seja finita em 0. No primeiro trecho você nos deu limites laterais em 0 que vão a \pm\infty; isso indica que não há valor finito em 0 (assíntota vertical), logo a propriedade f(0)=0 não se aplica porque f(0) não existe finitamente. Em suma:
  • Do primeiro trecho concluímos que há assíntota vertical em x=0 e a função não tem valor finito em 0.
  • Se, em algum outro problema, f fosse ímpar e finita em 0, então forçosamente f(0)=0.

Resposta

Para o primeiro trecho:
\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=\infty,\\ \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=-\infty (assíntota vertical em x=0; direita +\infty, esquerda -\infty).
Para o item 8 (usando que f é ímpar):
\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)=-3\newline
\displaystyle \lim_{x\to -2^-} f(x)=\infty\newline
\displaystyle \lim_{x\to -2^+} f(x)=-\infty\newline
Assíntotas verticais: x=2 e x=-2.\newline
Assíntotas horizontais: y=3 (quando x\to\infty) e y=-3 (quando x\to -\infty).

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