Questão 8. Use coordenadas esféricas para encontrar o volume:
do sólido que está acima do cone z=raizx^2+y^2 e abaixo da esfera x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica acima do cone z=raizx^2+y^2 e abaixo da esfera x^2+y^2+z^2=1, usando coordenadas esféricas. O assunto é cálculo de volume em coordenadas esféricas, e vamos precisar da transformação x=rhosinphicostheta,;y=rhosinphisintheta,;z=rhocosphi e do jacobiano rho^2sinphi.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, o cone z=raizx^2+y^2 vira rhocosphi=rhosinphi, ou seja phi=pi/4. A esfera x^2+y^2+z^2=1 vira rho=1. Logo a região é dada por
0<=theta<=2pi, 0<=phi<=pi/4, 0<=rho<=1

Passo 3

O volume fica
V=integral0^2piintegral0^pi/4integral0^1rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Primeiro integramos em rho:
integral0^1rho^2,drho=13,
ficando
V=13integral0^2pidthetaintegral0^pi/4sinphi,dphi

Passo 4

Agora integramos em theta e phi:
integral0^2pidtheta=2pi,integral0^pi/4sinphi,dphi=1-cospi4=1-raiz22

Passo 5

Portanto
V=13cdot2pil(1-raiz22r)

Passo 6

Bastou simplificar para obter a forma final.

Resposta

V=pi3l(2-raiz2r).

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