Resolva as integrais a seguir.
integral tan ^-1(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral tan^-1(x),dx. O conteúdo é Integração por Partes, cuja fórmula é integral u,dv = u,v - integral v,du. Vamos usar isso para resolver.

Passo 2

Escolhemos as funções para a fórmula de partes: u = tan^-1(x), pois sua derivada simplifica; e dv = dx, pois integra facilmente.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = ddxl(tan^-1(x)r),dx = 11+x^2,dx
v = integral dv = integral dx = x

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Integração por Partes:
integral tan^-1(x),dx = u,v - integral v,du = x,tan^-1(x) - integral x cdot 11+x^2,dx

Passo 5

Precisamos calcular integral x1+x^2,dx. Fazemos a substituição w = 1+x^2, logo dw = 2x,dx. Assim:
integral x1+x^2,dx = 12 integral dww = 12 lnl|wr| + C = 12 lnl(1+x^2r) + C

Passo 6

Substituindo esse resultado na expressão por partes, obtemos:
integral tan^-1(x),dx = x,tan^-1(x) - 12 lnl(1+x^2r) + C

Resposta

x,tan^-1(x) - tfrac12lnl(1+x^2r) + C

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