lim t 1 t^3-t-1+t^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim t 1 t^3-t-1+t^2
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo de Limites, que faz parte do estudo de Cálculo Diferencial e Integral. Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos básicos de álgebra, como fatoração, para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de $ t = 1 $ diretamente na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite facilmente.
Substituindo:
t = 1
A gente se depara com uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador $ t^{3} - t $ e o denominador $ -1 + t^{2} $ para simplificar a fração.
Numerador:
t^3 - t
Aqui, fatoramos $ t $ e reconhecemos que $ t^{2} - 1 $ é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada como $ (t - 1)(t + 1) $.
Denominador:
-1 + t^2
Novamente, usamos a diferença de quadrados para fatorar $ t^{2} - 1 $.

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações de volta na expressão original:
t(t - 1)(t + 1)(t - 1)(t + 1)
Observamos que $ (t - 1) $ e $ (t + 1) $ aparecem tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar esses termos:
(t - 1)

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão para $ t $, podemos calcular o limite substituindo $ t = 1 $:
t

Resposta

O limite é igual a 1.

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