Use os teste de convergência para determinar se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty(-1)^n+1 n / 2^n, (Teste da série alternada);

Passo 1

Resumo: temos a série sumn=1^infty(-1)^n+1n2^n. Vamos usar o teste de Leibniz para séries alternadas, que exige verificar que an=n2^n é positiva, decrescente e tende a zero, e também avaliaremos a convergência absoluta via teste da razão.

Passo 2

Definimos an=n2^n. Observamos que an>0 para todo n e que o fator (-1)^n+1 garante alternância de sinais.

Passo 3

Mostramos que limntoinftyan=0 dado que exponenciais crescem mais rápido que polinômios: limntoinftyn2^n=0.

Passo 4

Verificamos que (an) é decrescente. Calculamos o quociente:
[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{n+1}{2{n+1}}}{\frac{n}{2n}} = \frac{n+1}{2n} = \frac12 + \frac{1}{2n} < 1
]
para todo n>=1. Logo an+1.

Passo 5

Pelo teste de Leibniz, como an>0, decrescente e anto0, a série sumn=1^infty(-1)^n+1an converge.

Passo 6

Para verificar a convergência absoluta, aplicamos o teste da razão em sumn=1^inftyan. Calculamos:
[
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac12<1
]
Portanto sumn=1^inftyn2^n converge e a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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