Use os teste de convergência para determinar se as séries abaixo convergem ou divergem.
, (Teste da série alternada);
Passo 1
Resumo: temos a série
. Vamos usar o teste de Leibniz para séries alternadas, que exige verificar que
é positiva, decrescente e tende a zero, e também avaliaremos a convergência absoluta via teste da razão.
Passo 2
Definimos
. Observamos que
para todo
e que o fator
garante alternância de sinais.
Passo 3
Mostramos que
dado que exponenciais crescem mais rápido que polinômios:
.
Passo 4
Verificamos que
é decrescente. Calculamos o quociente:
[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{n+1}{2{n+1}}}{\frac{n}{2n}} = \frac{n+1}{2n} = \frac12 + \frac{1}{2n} < 1
]
para todo . Logo
.
[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{n+1}{2{n+1}}}{\frac{n}{2n}} = \frac{n+1}{2n} = \frac12 + \frac{1}{2n} < 1
]
para todo
Passo 5
Pelo teste de Leibniz, como
, decrescente e
, a série
converge.
Passo 6
Para verificar a convergência absoluta, aplicamos o teste da razão em
. Calculamos:
[
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac12<1
]
Portanto converge e a série original converge absolutamente.
[
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac12<1
]
Portanto
Resposta
A série converge absolutamente e, portanto, converge.