Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse problema está relacionado a limites envolvendo exponenciais e frações. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões do tipo
quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite. Olhando para
, percebemos que, para valores muito grandes de
, os termos com
predominam. Então, podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Passo 3
Agora, observando que
e
tendem a zero quando
vai para o infinito, a fração se aproxima de:
Então, temos uma expressão do tipo
, que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, podemos usar o limite que envolve o número de Euler
.
Passo 4
Sabemos que
. Vamos tentar reescrever nossa expressão nesse formato. Para isso, vamos manipular a fração:
Isso porque:
Passo 5
Agora, reescrevemos o limite original usando essa forma:
Podemos aproximar
para
muito grande. Então, nosso limite fica:
Simplificando a fração:
Passo 6
Agora, aplicamos o limite conhecido:
Resposta
O limite é
.