lim t +infty(3 t+13 t-5)^t-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse problema está relacionado a limites envolvendo exponenciais e frações. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões do tipo quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite. Olhando para 3t + 13t - 5 = 3 + 1t3 - 5t , percebemos que, para valores muito grandes de , os termos com predominam. Então, podemos dividir o numerador e o denominador por :

Passo 3

Agora, observando que 3 + 03 - 0 = 33 = 1 e tendem a zero quando vai para o infinito, a fração se aproxima de:
Então, temos uma expressão do tipo , que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, podemos usar o limite que envolve o número de Euler .

Passo 4

Sabemos que 3t + 13t - 5 = 1 + 63t - 5 . Vamos tentar reescrever nossa expressão nesse formato. Para isso, vamos manipular a fração:
3t + 13t - 5 = 3t - 5 + 63t - 5 = 1 + 63t - 5
Isso porque:

Passo 5

Agora, reescrevemos o limite original usando essa forma:
(1 + 63t - 5)^t - 2
Podemos aproximar limt to infty (1 + 63t)^t para (1 + 2t)^t muito grande. Então, nosso limite fica:
Simplificando a fração:

Passo 6

Agora, aplicamos o limite conhecido:
limt to infty (1 + 2t)^t = e^2

Resposta

O limite é .

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