lim x +infty(x^2-5 x+6x^2-9 x+20)^2 x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites que envolvem funções racionais elevadas a uma potência que depende de . Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam quando cresce muito e usar algumas técnicas de logaritmos para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite. Quando tende ao infinito, os termos de maior grau dominam. Então, no numerador , o termo é o que mais importa, e no denominador , também o domina. Portanto, a fração se aproxima de quando vai para o infinito.

Passo 3

Mas o limite é da forma L = limx +infty(x^2-5x+6x^2-9x+20)^2x-1 , que é indeterminado. Para resolver isso, vamos usar uma técnica que envolve logaritmos. Vamos chamar o limite de ln L = limx +infty (2x - 1) cdot ln(x^2-5x+6x^2-9x+20) :
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 4

Agora, precisamos calcular esse limite do logaritmo. Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Já sabemos que x^2-5x+6x^2-9x+20 = 1 + ( -5x + 6) - (-9x + 20)x^2-9x+20 = 1 + 4x -14x^2-9x+20 , então podemos escrever:
1 + 4xx^2 = 1 + 4x
Para ln(x^2-5x+6x^2-9x+20) approx ln(1 + 4x) grande, isso fica aproximadamente:
Então,

Passo 5

Sabemos que para ln(1 + 4x) approx 4x pequeno, ln L = limx +infty (2x - 1) cdot 4x = limx +infty 8x - 4x = limx +infty 8 - 4x = 8 . Aplicando isso:
Então, substituindo de volta no limite do logaritmo:

Passo 6

Agora que temos L = e^8 , para encontrar , basta usar a função exponencial:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados