Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui, estamos trabalhando com limites que envolvem funções racionais elevadas a uma potência que depende de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam quando
cresce muito e usar algumas técnicas de logaritmos para facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite. Quando
tende ao infinito, os termos de maior grau dominam. Então, no numerador
, o termo
é o que mais importa, e no denominador
, também o
domina. Portanto, a fração
se aproxima de
quando
vai para o infinito.
Passo 3
Mas o limite é da forma
, que é indeterminado. Para resolver isso, vamos usar uma técnica que envolve logaritmos. Vamos chamar o limite de
:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 4
Agora, precisamos calcular esse limite do logaritmo. Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Já sabemos que
, então podemos escrever:
Para
grande, isso fica aproximadamente:
Então,
Passo 5
Sabemos que para
pequeno,
. Aplicando isso:
Então, substituindo de volta no limite do logaritmo:
Passo 6
Agora que temos
, para encontrar
, basta usar a função exponencial:
Resposta
O limite é
.