Em cada caso, mostre que a função z=f(x, y) sugerida não tem limite quando (x, y) (0,0).
z=|x|x-y^3

Passo 1

Estamos chamando a atenção para a função f(x,y)=|x|x-y^3 e queremos mostrar que lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe. Para isso, vamos usar o método de trajetórias, comparando valores que a função toma ao se aproximar de (0,0) por caminhos diferentes.

Passo 2

Considere a reta y=0. Nesse caso temos
f(x,0)=|x|x-0=|x|x.
Quando x>0, |x|x=1; quando x<0, |x|x=-1. Logo, aproximando-se de (0,0) pelo eixo x>0 o limite direcional vale 1, e pelo eixo x<0 vale -1, o que já mostra dependência de direção.

Passo 3

Para reforçar, escolha a curva x=y^3. Ao longo dessa curva o denominador x-y^3 fica zero para todo yneq0, fazendo f(x,y) explodir (tender a pminfty). Isso mostra que nem mesmo há um limite finito único. Portanto, não há limite em (0,0).

Resposta

Não existe limite.

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