Lim time X tem 2 / 3 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se X jogar 5 partidas. calcule a probabilidade de:
a) X vence exatamente três partidas.
b) X vence ao menos uma partida.
c) X vencer mais da metade das partidas.

Passo 1

O enunciado diz que o time X joga 5 partidas, cada jogo tem probabilidade tfrac23 de vitória (sucesso) e tfrac13 de derrota, de forma independente. O conteúdo usado aqui é a distribuição binomial, já que queremos contar quantas vitórias ocorrem em n=5 tentativas.

Passo 2

A distribuição binomial modela o número de sucessos em n tentativas independentes, cada uma com probabilidade p de sucesso. A fórmula para a probabilidade de exatamente k sucessos é
P(X = k) ;=;binomnk,p^k,(1-p)^,n-k

Passo 3

(a) Para vencer exatamente 3 partidas, ou seja P(X=3), usamos n=5, p=tfrac23:
P(X=3) =binom53l(tfrac23r)^3l(tfrac13r)^2 =10cdot827cdot19 =80243

Passo 4

(b) Para vencer ao menos uma partida, ou seja P(X>=1), é mais fácil usar o complementar de P(X=0):
P(X=0) =binom50l(tfrac23r)^0l(tfrac13r)^5 =l(tfrac13r)^5 =1243,
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P(X>=1)=1-P(X=0) =1-1243 =242243

Passo 5

(c) Vencer mais da metade das 5 partidas significa vencer pelo menos 3, isto é P(X>=3). Podemos somar P(X=3)+P(X=4)+P(X=5). Já temos P(X=3)=80/243. Agora:
P(X=4) =binom54l(tfrac23r)^4l(tfrac13r)^1 =5cdot1681cdot13 =80243,
P(X=5) =binom55l(tfrac23r)^5l(tfrac13r)^0 =1cdot32243cdot1 =32243
Somando:
P(X>=3) =80+80+32243 =192243 =6481

Resposta

a) 80243
b) 242243
c) 6481

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