lim x 2 x^3-13 x^2+32 x-20x^2-8 x+12

Passo 1

O enunciado pede
limxto 2x^3-13x^2+32x-20x^2-8x+12
O conteúdo é limites de funções racionais: quando dá indeterminação 0/0, precisamos fatorar e simplificar.

Passo 2

Vamos tentar substituição direta em x=2:
numerador:
2^3-13cdot2^2+32cdot2-20 = 8 - 52 + 64 - 20 = 0,
denominador:
2^2-8cdot2+12 = 4 - 16 + 12 = 0
Obtemos 0/0, forma indeterminada. É preciso fatorar.

Passo 3

Fatoramos o denominador:
x^2-8x+12 = (x-2)(x-6)

Passo 4

Fatoramos o numerador dividindo por (x-2). Usando divisão sintética:
coeficientes 1,,-13,,32,,-20 com raiz 2 dão quociente x^2-11x+10. E
x^2-11x+10 = (x-1)(x-10)
Logo
x^3-13x^2+32x-20 = (x-2)(x-1)(x-10)

Passo 5

Cancelamos o fator comum (x-2) e calculamos o limite:
limxto2(x-2)(x-1)(x-10)(x-2)(x-6) = limxto2(x-1)(x-10)x-6
Agora substituímos x=2:
(2-1)(2-10)2-6 = 1cdot(-8)-4 =2

Resposta

2

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