lim x 1 1+|x|x-1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxto11+|x|x-1. O conteúdo envolvido é o tratamento do valor absoluto e limites laterais, e vamos precisar usar a definição de |x| em um intervalo que contenha 1.

Passo 2

Observamos que, para x próximo de 1, temos x>0, portanto |x|=x. Substituindo na expressão, ficamos com 1+|x|x-1=1+xx-1

Passo 3

Analisando agora a forma simplificada 1+xx-1, vemos que quando xto1 o numerador tende a 2 (não nulo) e o denominador tende a 0. Logo, a fração diverge, e seu sinal dependerá do sinal de x-1.

Passo 4

Calculamos os limites laterais:
  • Para xto1^+, temos x-1>0, então 1+xx-1to+infty.
  • Para xto1^-, temos x-1<0, então 1+xx-1to-infty.

Passo 5

Como os limites laterais não coincidem, o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois tende a +∞ pela direita e a -∞ pela esquerda.

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